Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Métropole 2018, porte sur l'interaction entre l'algorithmie (via le logiciel Scratch) et la géométrie plane. Bien qu'initialement posé au DNB, sa structure constitue une base essentielle pour le programme de Première Spécialité, notamment pour la compréhension des structures de boucles, de la gestion des variables et des transformations géométriques. L'énoncé nous demande de suivre le tracé d'un stylo piloté par des instructions précises, d'identifier des coordonnées dans un repère et de comprendre comment une modification de variable affecte une figure complexe.
Points de vigilance et notions de cours
- Boucles et itérations : Comprendre que la définition d'un bloc (Carré ou Triangle) permet de factoriser le code. Un carré nécessite 4 itérations avec une rotation de 90°, tandis qu'un triangle équilatéral nécessite 3 itérations avec une rotation de 120° (angle extérieur).
- Coordonnées relatives : Le déplacement 'avancer de Longueur' modifie les coordonnées (x,y) en fonction de l'orientation actuelle.
- Transformations : Le passage d'une figure à une autre par réduction ou agrandissement fait appel à la notion d'homothétie.
- Rapport d'aires : Rappel fondamental de Première : si les longueurs sont multipliées par un rapport k, les aires sont multipliées par k².
Correction détaillée
1. Représentation et coordonnées :
a) La longueur initiale est de 300 pixels. Avec l'échelle 1 cm = 50 pixels, le côté du carré et du triangle mesure 6 cm. Jusqu'à la ligne 7, le programme trace un carré de 6 cm de côté partant de (0,0) vers la droite, puis revient à (0,0) pour tracer un triangle équilatéral pointant vers le haut.
b) À la ligne 8, l'instruction est 'avancer de Longueur / 6'. Soit 300 / 6 = 50 pixels. Le stylo s'étant réorienté à 90° initialement et n'ayant pas changé d'orientation globale après les boucles (360° pour le carré, 360° pour le triangle), il avance horizontalement. Les coordonnées deviennent (50, 0).
2. Compléter le programme :
La figure finale montre un axe de symétrie vertical. Le grand carré fait 300 px. Si le petit carré commence à 50 px du bord gauche, par symétrie, il doit s'arrêter à 50 px du bord droit. Sa longueur est donc 300 - 50 - 50 = 200 pixels. La ligne 9 doit donc être : mettre Longueur à 200 (ou Longueur * 2/3).
3. Transformations géométriques :
a) Il s'agit d'une homothétie (ou d'une réduction). Le rapport de réduction est k = 200 / 300 = 2/3.
b) Le rapport des aires est égal au carré du rapport de réduction, soit k² = (2/3)² = 4/9. L'aire du petit carré représente donc 4/9ème de l'aire du grand carré.