Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de type brevet, mobilise des compétences fondamentales en Première Spécialité, notamment la modélisation géométrique et l'algorithmie. La première partie repose sur une configuration de Thalès classique appliquée à un contexte maritime (phare et balise), tandis que la seconde partie demande une analyse rigoureuse de rotations et de répétitions pour compléter un script Scratch.
Points de vigilance et notions requises
- Configuration de Thalès : Identification des triangles emboîtés $OAB$ et $OHP$ et vérification du parallélisme.
- Calcul de distances : Attention à bien sommer les segments $OA$ et $AH$ pour obtenir la longueur totale $OH$.
- Logique algorithmique : Comprendre la différence entre « tourner à droite » et « tourner à gauche » dans un repère relatif à l'orientation du lutin.
- Angles de rotation : La somme des angles au centre pour une figure fermée est de $360^\circ$.
Correction Détaillée
1. Calcul de la distance OH
Le point $A$ appartient au segment $[OH]$. On a donc :
$OH = OA + AH = 151 + 260 = 411$ m.
2. Hauteur de la balise AB
Dans les triangles $OAB$ et $OHP$ :
- Les points $O, A, H$ sont alignés.
- Les points $O, B, P$ sont alignés.
- Les droites $(AB)$ et $(HP)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
$\frac{OA}{OH} = \frac{AB}{HP}$
$\frac{151}{411} = \frac{AB}{56}$
$AB = \frac{151 \times 56}{411} \approx 20,6$ m.
3. Mesure de l'angle $\widehat{a}$
La figure montre une répartition autour d'un point central. On observe un demi-cercle ($180^\circ$) et un angle de $72^\circ$. La somme totale faisant $360^\circ$ :
$\widehat{a} = 360 - 180 - 72 = 108^\circ$.
4. Script Scratch
En observant le motif et les mesures données :
- Avancer de 38.
- Tourner à droite de 90° (angle droit marqué sur le schéma).
- Avancer de 28.
- Tourner à gauche de 108° (angle calculé précédemment).
- Avancer de 28.
- Tourner à droite de 90°.
- Avancer de 38.
5. Script Final
La sculpture est composée de 12 motifs identiques. Pour compléter le tour complet :
- Répéter 12 fois.
- Tourner de $360 / 12 = 30$ degrés.