Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de DNB, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité en mathématiques. Il traite de la modélisation algorithmique et de la transition entre une suite d'instructions et une expression algébrique. L'objectif est double : comprendre le fonctionnement d'un algorithme (ici présenté sous forme Scratch) et résoudre une équation issue de la comparaison de deux programmes de calcul.
Points de vigilance et notions requises
- Traduction algébrique : Savoir transformer une instruction type 'multiplier par 6' en une opération mathématique.
- Priorités opératoires : Faire attention à l'ordre des calculs, notamment lors de la division du résultat global (utilisation des parenthèses).
- Réduction d'expression : Maîtriser le développement et la simplification de fonctions affines.
- Résolution d'équation : Isoler l'inconnue x pour trouver une valeur spécifique.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Tests de valeurs :
- Pour $x=5$ : Étape 1 = $6 \times 5 = 30$. Étape 2 = $30 + 10 = 40$. Résultat = $40 / 2 = 20$. L'affirmation est vérifiée.
- Pour $x=7$ : Étape 1 = $6 \times 7 = 42$. Étape 2 = $42 + 10 = 52$. Résultat = $52 / 2 = 26$. Le programme dit : 'J'obtiens finalement 26'.
2. Recherche de la valeur de départ :
Pour obtenir 8, on remonte le programme ou on résout l'équation. Si $R$ est le résultat, le chemin inverse est : $(R \times 2 - 10) / 6$. Avec $R=8$ : $(8 \times 2 - 10) / 6 = (16 - 10) / 6 = 6 / 6 = 1$. Julie a choisi le nombre 1.
3. Expression générale de Julie :
En partant de $x$, on obtient successivement : $6x$, puis $6x + 10$, puis $(6x + 10) / 2$. En réduisant, on trouve $f(x) = 3x + 5$. C'est une fonction affine.
4. Comparaison avec Maxime :
Le programme de Maxime se traduit par l'expression $g(x) = (x + 2) \times 5 = 5x + 10$. Pour que les résultats soient identiques, on cherche $x$ tel que $3x + 5 = 5x + 10$.
En isolant $x$ : $5 - 10 = 5x - 3x \Rightarrow -5 = 2x \Rightarrow x = -2,5$. Les deux programmes donnent le même résultat pour $x = -2,5$.