Analyse de l'énoncé : De l'algorithme à l'algèbre
L'exercice 5 du sujet Polynésie 2017 propose une approche progressive reliant trois domaines clés des mathématiques de lycée : le calcul numérique, l'algorithmie et l'algèbre. Cette structure est typique des évaluations visant à vérifier la capacité de l'élève à passer d'un langage naturel ou visuel (le script Scratch) à un formalisme mathématique rigoureux (l'inéquation).
Points de vigilance : Notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales de la spécialité mathématiques doivent être mobilisées :
- La gestion des priorités opératoires : La multiplication par un nombre négatif nécessite une attention particulière, notamment sur les changements de signe.
- La notion d'antécédent : Savoir "remonter" un programme de calcul revient mathématiquement à chercher l'antécédent d'une valeur par une fonction affine du type f(x) = ax + b.
- La logique booléenne : Comprendre la structure conditionnelle "Si... Alors... Sinon..." qui est le cœur de la programmation.
- Le changement de sens des inégalités : C'est la règle d'or en algèbre : multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif change le sens du symbole.
Guide de résolution détaillé
1. Vérification numérique : En choisissant -2, le programme effectue : -2 * (-4) = 8. Puis 8 + 5 = 13. Le résultat est correct.
2. Opérations inverses : Pour trouver le nombre de départ afin d'obtenir -3, on résout l'équation -4x + 5 = -3. En isolant x, on obtient -4x = -8, soit x = 2.
3. Analyse du script Scratch : Le lutin teste si l'expression littérale est strictement négative.
- Pour x = 12 : -4 * 12 + 5 = -43. Comme -43 < 0, le lutin répond "Bravo".
- Pour x = -5 : -4 * (-5) + 5 = 25. Comme 25 n'est pas inférieur à 0, le lutin répond "Essaie encore".
4. Résolution de l'inéquation : On résout -4x + 5 < 0. En soustrayant 5, on a -4x < -5. En divisant par -4 (nombre négatif), on change le sens : x > 1,25.
Importance pour la classe de Première
En spécialité mathématiques, la maîtrise des inéquations est cruciale pour l'étude de signe des fonctions dérivées ou pour déterminer les seuils de convergence dans le chapitre sur les suites numériques. Cet exercice simple permet de consolider ces bases indispensables.