Introduction aux notions de Géométrie du Brevet 2026

Cet exercice, issu de la session 2026 du Brevet de Mathématiques (Métropole), constitue un pilier fondamental du programme de 3ème. Il sollicite une synergie de compétences géométriques essentielles : la réciproque du théorème de Pythagore pour prouver l'orthogonalité, le théorème de Thalès dans sa configuration dite "papillon", la caractérisation des triangles semblables et, enfin, le calcul d'aires composées. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver des valeurs numériques comme $\mathrm{DE}=\np[cm]{6}$, mais de structurer un raisonnement mathématique rigoureux capable de convaincre un correcteur. Nous allons décomposer chaque étape pour transformer cet énoncé complexe en une suite logique de démonstrations.

1. Démontrer qu'un triangle est rectangle : La Réciproque de Pythagore

La première question nous demande de prouver que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Dans le cadre du Brevet 2026, la rédaction est primordiale. Vous devez identifier le côté le plus long (l'hypoténuse potentielle), ici $[BC]$ qui mesure $\np[cm]{8}$. Le raisonnement doit se faire en deux étapes distinctes :

• D'une part, on calcule le carré du côté le plus long : $BC^2 = 8^2 = 64$.
• D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + AC^2 = 6,4^2 + 4,8^2 = 40,96 + 23,04 = 64$.

On constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Sans cette conclusion explicite citant le théorème, vous risquez de perdre des points précieux.

2. Configuration Papillon et Théorème de Thalès

La question 2 nous plonge dans le théorème de Thalès. La figure montre deux droites $(BD)$ et $(CE)$ sécantes en $A$, avec des droites $(BC)$ et $(DE)$ parallèles. C'est la configuration classique du "nœud papillon". Pour calculer $\mathrm{DE}$ et $\mathrm{AE}$, il faut établir l'égalité des rapports : $\frac{AD}{AB} = rac{AE}{AC} = rac{DE}{BC}$.

En remplaçant par les valeurs connues : $\frac{4,8}{6,4} = \frac{AE}{4,8} = \frac{DE}{8}$. Le coefficient de proportionnalité (ou rapport de réduction) est $k = 4,8 / 6,4 = 0,75$.

Pour $\mathrm{DE}$ : $DE = 8 \times 0,75 = 6$. Pour $\mathrm{AE}$ : $AE = 4,8 \times 0,75 = 3,6$. La précision des unités ($\mathrm{cm}$) est impérative dans votre copie finale.

3. Angles et Propriétés des Droites Parallèles

Montrer l'égalité des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADE}$ fait appel aux propriétés des angles formés par deux parallèles et une sécante. Ici, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles par énoncé. La droite $(BD)$ est une sécante qui coupe ces deux parallèles. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADE}$ sont des angles alternes-internes par rapport à cette configuration. Puisque les droites sont parallèles, ces angles sont nécessairement de même mesure. C'est une propriété souvent oubliée par les élèves de 3ème, préférez toujours citer la nature des angles.

4. Comprendre les Triangles Semblables

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux ou si leurs côtés sont proportionnels. Dans cet exercice :

• Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DAE}$ sont opposés par le sommet, donc égaux.
• Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADE}$ sont égaux (démontré précédemment).
• Par déduction, le troisième angle est également égal.

Puisque les triangles $ABC$ et $ADE$ possèdent des angles de même mesure (ou des côtés dont les longueurs sont proportionnelles via Thalès), ils sont semblables. Le triangle $ADE$ est en réalité une réduction du triangle $ABC$ de rapport $0,75$.

5. Calcul d'Aire d'un Quadrilatère Complexe

Le quadrilatère $BCDE$ n'est pas une figure géométrique usuelle (ce n'est ni un rectangle, ni un trapèze classique ici). Cependant, il est composé des deux triangles $ABC$ et $ADE$ qui se touchent au point $A$. Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, et que par symétrie de la configuration de Thalès (ou conservation des angles), $ADE$ l'est aussi, nous pouvons calculer leurs aires respectives.

Aire($ABC$) = $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{6,4 \times 4,8}{2} = 15,36 \text{ cm}^2$.

Aire($ADE$) = $\frac{AD \times AE}{2} = \frac{4,8 \times 3,6}{2} = 8,64 \text{ cm}^2$.

L'aire totale du quadrilatère $BCDE$ est la somme des deux : $15,36 + 8,64 = 24 \text{ cm}^2$.

Les Pièges à Éviter au Brevet 2026

Attention à la confusion entre le théorème de Pythagore (utilisé pour calculer une longueur) et sa réciproque (utilisée pour prouver qu'un angle est droit). De même, pour Thalès, veillez à toujours vérifier l'ordre des points dans vos rapports. Un rapport inversé faossera l'intégralité de vos calculs de longueurs. Enfin, n'oubliez jamais de mentionner que les droites sont parallèles avant d'appliquer Thalès.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, aérez votre copie. Utilisez des connecteurs logiques tels que "On sait que", "Or", "Donc". Soulignez vos résultats finaux et assurez-vous que chaque démonstration cite le nom du théorème utilisé. En géométrie, la clarté du raisonnement pèse autant, sinon plus, que l'exactitude du résultat numérique.