Introduction : Un exercice complet entre géométrie et vie réelle

L'exercice 6 du sujet de Brevet des collèges 2013 (Métropole) est un cas d'école particulièrement riche. Il mobilise trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : la prise d'initiatives, le théorème de Pythagore et la trigonométrie. L'énoncé place l'élève dans la position d'un concepteur de skatepark qui doit vérifier si une structure (un escalier et un plan incliné) respecte à la fois des normes de sécurité strictes et les attentes des utilisateurs sportifs.

Analyse de la Question 1 : Les normes de l'escalier

La première partie de l'exercice demande une vérification normative. Pour cela, l'élève doit manipuler la formule $60 \leqslant 2h + p \leqslant 65$. La difficulté ici ne réside pas dans le calcul lui-même, mais dans l'extraction des données $h$ (hauteur) et $p$ (profondeur) à partir d'un schéma complexe.

Pour trouver $h$ (hauteur d'une marche), il faut observer la hauteur totale de la structure qui est donnée : $96$ cm. L'énoncé précise que l'escalier possède six marches identiques. Le raisonnement logique impose donc le calcul : $h = 96 / 6 = 16$ cm. C'est une étape cruciale de prise d'initiative : comprendre qu'une mesure globale se divise par le nombre d'unités répétitives.

Ensuite, il faut déterminer $p$ (profondeur d'une marche). En observant attentivement le schéma, on remarque que la longueur horizontale totale de l'emmarchement est de $55$ cm. Si l'on compte les marches sur le plan horizontal, on s'aperçoit que cette distance correspond à 5 profondeurs de marches (car la 6ème marche arrive sur le palier). Ainsi, $p = 55 / 5 = 11$ cm. En appliquant la formule de Blondel (la norme de construction) : $2 \times 16 + 11 = 32 + 11 = 43$. On constate immédiatement que $43$ n'est pas compris entre $60$ et $65$. La conclusion est sans appel : les normes ne sont pas respectées.

Analyse de la Question 2 : Le plan incliné (Pythagore et Trigonométrie)

Cette seconde partie est le cœur géométrique du sujet. On s'intéresse au triangle $ABD$, rectangle en $B$.

Calcul de la longueur du plan incliné (AD)

Pour vérifier si la longueur $AD$ est comprise entre $2,20$ m et $2,50$ m, le théorème de Pythagore est l'outil indispensable. Avant de l'appliquer, il faut calculer la base totale $BD$. Le schéma indique $BC = 55$ cm et $CD = 150$ cm, d'où $BD = 55 + 150 = 205$ cm. Dans le triangle $ABD$ rectangle en $B$, on a :
$AD^2 = AB^2 + BD^2$
$AD^2 = 96^2 + 205^2 = 9216 + 42025 = 51241$.
En extrayant la racine carrée, on obtient $AD \approx 226,36$ cm, soit environ $2,26$ m. Cette valeur se situe bien dans la fourchette demandée par les habitués du skatepark.

Calcul de l'angle d'inclinaison

Enfin, pour l'angle $\widehat{BDA}$, nous devons utiliser la trigonométrie. Nous connaissons le côté opposé ($AB = 96$) et le côté adjacent ($BD = 205$). La fonction tangente est donc la plus directe :
$\tan(\widehat{BDA}) = \frac{AB}{BD} = \frac{96}{205} \approx 0,468$.
À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $2nd$ Tan), on trouve $\widehat{BDA} \approx 25,1^\circ$. L'angle étant compris entre $20^\circ$ et $30^\circ$, cette demande est également satisfaite.

Les Pièges à éviter

1. La confusion des unités : L'énoncé mélange les centimètres ($96$ cm, $55$ cm) et les mètres ($2,20$ m). Il est impératif de tout convertir dans la même unité avant d'effectuer les calculs de Pythagore pour éviter des erreurs d'échelle massives.
2. Le comptage des marches : Attention à ne pas diviser $55$ par $6$ sans réfléchir. Sur un plan, le nombre de profondeurs (girons) est souvent égal au nombre de hauteurs moins un si la dernière marche est le palier lui-même.
3. La précision de la calculatrice : Veillez à ce que votre calculatrice soit en mode 'Degré' et non 'Radian' pour le calcul de l'angle.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'aligner des chiffres. Commencez chaque étape par une phrase d'introduction comme : "Considérons le triangle $ABD$ rectangle en $B$". Citez explicitement le théorème utilisé : "D'après le théorème de Pythagore...". Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion claire qui répond directement à la question posée (Oui/Non, respecté/non respecté).