Introduction aux notions de géométrie du Brevet 2026

Cet exercice, issu de la session 2026 pour les centres étrangers, est un modèle de synthèse pour le programme de mathématiques de 3ème. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane : la construction de figures, l'utilisation du théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs, la reconnaissance de droites parallèles et l'application du théorème de Thalès. L'objectif est ici de démontrer la maîtrise des configurations classiques (triangles emboîtés) et la rigueur dans la rédaction des démonstrations. Les notions de périmètre viennent conclure l'exercice pour tester la capacité de l'élève à sommer des segments après plusieurs étapes de calcul. Ce type d'exercice est récurrent au Brevet et représente souvent une part importante des points de l'épreuve.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Construction et précision

La première étape demande de tracer le triangle ABC. Ici, le triangle est rectangle en B avec $AB = 6,4$ cm et $AC = 8$ cm. La difficulté réside dans le fait que l'on ne donne pas initialement la mesure de $BC$. L'élève doit donc utiliser son équerre pour l'angle droit en B et un compas pour reporter la longueur de l'hypoténuse $AC = 8$ cm. La consigne précise de laisser les traits de construction, ce qui est crucial pour que l'examinateur valide la méthode utilisée.

Question 2 : Application du théorème de Pythagore

Pour démontrer que $BC = 4,8$ cm, il faut impérativement citer le théorème de Pythagore. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, l'égalité de Pythagore s'écrit : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs numériques : $8^2 = 6,4^2 + BC^2$, soit $64 = 40,96 + BC^2$. Par soustraction, on obtient $BC^2 = 64 - 40,96 = 23,04$. La racine carrée de $23,04$ est bien $4,8$. La rédaction doit être soignée : nommer le triangle, préciser où se situe l'angle droit et conclure avec l'unité correcte.

Question 3 : Justification du parallélisme

Cette question fait appel à une propriété apprise dès la 6ème mais souvent oubliée : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles'. Ici, (BC) est perpendiculaire à (AM) car le triangle ABC est rectangle en B. De même, (MN) est perpendiculaire à (AM) car le triangle AMN est rectangle en M. Les deux droites (BC) et (MN) étant perpendiculaires à la droite (AM), on en déduit qu'elles sont parallèles.

Question 4 : Le théorème de Thalès en configuration papillon ou triangle

Puisque les points A, B, M sont alignés, que A, C, N sont alignés et que (BC) // (MN), nous sommes dans une configuration de Thalès. Le rapport de proportionnalité est le suivant : $\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$. Attention au calcul de AM : $AM = AB + BM = 6,4 + 3,2 = 9,6$ cm. En utilisant les produits en croix : $MN = \frac{BC \times AM}{AB} = \frac{4,8 \times 9,6}{6,4} = 7,2$ cm. Pour $AN$, on a $AN = \frac{AC \times AM}{AB} = \frac{8 \times 9,6}{6,4} = 12$ cm. La précision des calculs est ici fondamentale.

Question 5 : Comparaison des périmètres

Le périmètre du triangle ABC est simple : $P_1 = 6,4 + 4,8 + 8 = 19,2$ cm. Pour le quadrilatère BMNC, il faut sommer ses quatre côtés : $BM + MN + NC + CB$. On connaît déjà $BM = 3,2$, $MN = 7,2$ et $CB = 4,8$. Il manque $NC$. Comme $AN = 12$ et $AC = 8$, alors $NC = AN - AC = 12 - 8 = 4$ cm. Le périmètre du quadrilatère est donc $P_2 = 3,2 + 7,2 + 4 + 4,8 = 19,2$ cm. Étonnamment, les deux périmètres sont égaux ! L'argumentation doit détailler chaque segment pour prouver l'égalité.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal de cet exercice réside dans le calcul de la longueur $AM$. Beaucoup d'élèves utilisent par erreur $BM$ ($3,2$ cm) au lieu de la longueur totale $AM$ ($9,6$ cm) dans les rapports de Thalès. Une autre erreur classique est d'oublier de soustraire $AC$ de $AN$ pour trouver le segment $NC$ lors du calcul du périmètre du quadrilatère. Enfin, veillez à ne pas confondre le théorème de Pythagore (pour calculer une longueur dans un triangle rectangle) et sa réciproque (pour prouver qu'un triangle est rectangle).

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses. Utilisez des connecteurs logiques comme 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Citez systématiquement les théorèmes utilisés par leur nom (Thalès, Pythagore). N'oubliez jamais les unités (cm) dans votre phrase de conclusion, même si vous ne les mettez pas dans les calculs intermédiaires. Une figure propre et des calculs espacés facilitent la lecture du correcteur et témoignent de votre sérieux.