Introduction aux notions de Géométrie du Brevet

Cet exercice complet, issu de la session du Brevet 2026 pour la zone Amérique du Nord, est un véritable condensé du programme de géométrie de troisième. Il mobilise des compétences fondamentales : la réciproque du théorème de Pythagore, le calcul d'aire, la démonstration du parallélisme et l'utilisation du théorème de Thalès ou de la trigonométrie pour le calcul de longueurs et d'angles. L'objectif ici est de vérifier la capacité de l'élève à articuler plusieurs propriétés géométriques dans une configuration complexe (configuration en 'papillon' ou 'nœud papillon').

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une figure qui n'est pas à l'échelle, ce qui est classique au Brevet. Cela force l'élève à se reposer sur les propriétés mathématiques plutôt que sur la mesure directe. On nous donne deux triangles, $ABC$ et $AED$, liés par un point commun $A$, avec des alignements de points stratégiques.

Question 1 : Démontrer qu'un triangle est rectangle

Pour montrer que le triangle $AED$ est rectangle, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Les longueurs fournies sont $DE = 4,8$ cm, $AD = 7,3$ cm et $AE = 5,5$ cm. Le plus long côté est $[AD]$. Calculons séparément le carré du plus long côté et la somme des carrés des deux autres côtés :
D'une part : $AD^2 = 7,3^2 = 53,29$.
D'autre part : $AE^2 + ED^2 = 5,5^2 + 4,8^2 = 30,25 + 23,04 = 53,29$.
On constate que $AD^2 = AE^2 + ED^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AED$ est rectangle en $E$. Note de rédaction : Il est impératif de bien séparer les calculs pour ne pas supposer l'égalité avant de l'avoir prouvée.

Question 2 : Calcul de l'aire d'un triangle rectangle

L'aire d'un triangle rectangle s'obtient par la formule : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Dans le cas d'un triangle rectangle, la base et la hauteur correspondent aux deux côtés de l'angle droit. Ici, il s'agit de $[AE]$ et $[ED]$.
$$\text{Aire}_{AED} = \frac{AE \times ED}{2} = \frac{5,5 \times 4,8}{2} = 13,2 \text{ cm}^2$$. L'unité est essentielle pour obtenir tous les points.

Question 3 : Justifier le parallélisme

Cette question fait appel à une propriété du collège souvent oubliée : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles'.
1. On nous dit que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc la droite $(BC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
2. On a prouvé à la question 1 que le triangle $AED$ est rectangle en $E$, donc la droite $(ED)$ est perpendiculaire à la droite $(AE)$.
3. Comme les points $B, A$ et $E$ sont alignés, les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont en fait une seule et même droite $(BE)$.
Par conséquent, $(BC)$ et $(ED)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(BE)$. Elles sont donc parallèles.

Question 4 : Calculer la longueur AB (Thalès)

Puisque les droites $(BC)$ et $(ED)$ sont parallèles et que les points $B, A, E$ et $C, A, D$ sont alignés dans cet ordre, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès dans la configuration 'papillon'.
L'égalité des rapports nous donne : $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{ED}$.
Nous cherchons $AB$. Utilisons le rapport connu : $\frac{AB}{5,5} = \frac{7,2}{4,8}$.
Grâce au produit en croix, nous obtenons : $AB = \frac{5,5 \times 7,2}{4,8} = 8,25$ cm. La valeur est exacte, il n'est pas nécessaire d'arrondir.

Question 5 : Trigonométrie et angles

On nous donne $\widehat{ACB} \approx 49^\circ$. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, la somme des angles aigus est de $90^\circ$. Ainsi, $\widehat{BAC} = 90 - 49 = 41^\circ$.
Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{EAD}$ sont opposés par le sommet, ils ont donc la même mesure : $\widehat{EAD} = 41^\circ$.
Enfin, dans le triangle $AED$ rectangle en $E$, l'angle $\widehat{ADE}$ est le complémentaire de $\widehat{EAD}$ : $\widehat{ADE} = 90 - 41 = 49^\circ$.
Alternativement, on pouvait utiliser les angles alternes-internes formés par les parallèles $(BC)$ et $(ED)$ et la sécante $(CD)$.

Les Pièges à éviter au Brevet

Attention à la confusion entre le théorème de Pythagore (calcul d'une longueur) et sa réciproque (démonstration qu'un triangle est rectangle). De même, pour Thalès, assurez-vous de bien identifier le point d'intersection des deux droites (ici le point $A$) pour écrire correctement les rapports de longueurs. Une erreur fréquente est d'inverser numérateur et dénominateur dans les fractions.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour chaque propriété utilisée, suivez la structure 'Je sais que... Or d'après... Donc...'. Cela garantit au correcteur que votre raisonnement est logique. Précisez bien les triangles dans lesquels vous travaillez et nommez les théorèmes utilisés (Thalès, Pythagore). N'oubliez jamais les unités de mesure dans vos phrases de conclusion.