Introduction aux notions fondamentales de l'exercice

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2015 de la zone Polynésie est un véritable classique de la géométrie plane. Il mobilise les trois piliers du programme de troisième en mathématiques : le théorème de Pythagore (et sa réciproque), la trigonométrie dans le triangle rectangle, et enfin le théorème de Thalès. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'une figure tracée à main levée à une démonstration rigoureuse en s'appuyant sur des données numériques précises comme $IJ = 6,8$ cm, $JK = 4$ cm, $JH = 3,2$ cm et $HK = 2,4$ cm.

Analyse de la Question 2 : Utiliser la Réciproque du Théorème de Pythagore

Pour démontrer que les droites $(IK)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires, l'élève doit se placer dans le triangle $JHK$. On nous donne les longueurs des trois côtés : $JH = 3,2$ cm, $HK = 2,4$ cm et $JK = 4$ cm. Le raisonnement doit être structuré ainsi : D'une part, on calcule le carré du plus long côté (l'hypoténuse potentielle), soit $JK^2 = 4^2 = 16$. D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $JH^2 + HK^2 = 3,2^2 + 2,4^2 = 10,24 + 5,76 = 16$. On constate que $JK^2 = JH^2 + HK^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $JHK$ est rectangle en $H$. Par conséquent, les droites $(JH)$ et $(HK)$ sont perpendiculaires. Puisque $I, H$ et $K$ sont alignés, la droite $(HK)$ est la même que la droite $(IK)$, ce qui prouve l'orthogonalité demandée.

Question 3 : Application directe du Théorème de Pythagore

Une fois qu'il est prouvé que le triangle $IJH$ est également rectangle en $H$ (car $H$ appartient au segment $[IK]$ et $(JH) \perp (IK)$), nous pouvons calculer la longueur $IH$. Dans le triangle $IJH$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore : $IJ^2 = IH^2 + HJ^2$. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient $6,8^2 = IH^2 + 3,2^2$. Soit $46,24 = IH^2 + 10,24$. En isolant $IH^2$, on trouve $IH^2 = 46,24 - 10,24 = 36$. La racine carrée de $36$ étant $6$, on en conclut que $IH = 6$ cm. Cette étape est cruciale car elle valide la cohérence de la figure que l'élève a dû construire en vraie grandeur à la première question.

Question 4 : Maîtriser la Trigonométrie (SOH CAH TOA)

Le calcul de l'angle $\widehat{HJK}$ demande de choisir la bonne relation trigonométrique dans le triangle $JHK$ rectangle en $H$. Nous connaissons le côté opposé ($HK = 2,4$), le côté adjacent ($JH = 3,2$) et l'hypoténuse ($JK = 4$). L'élève peut utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente. Par exemple, avec la tangente : $\tan(\widehat{HJK}) = \frac{HK}{JH} = \frac{2,4}{3,2} = 0,75$. En utilisant la calculatrice (touche Arctan ou $2nd$ Tan), on trouve que l'angle mesure environ $36,86^\circ$. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est $37^\circ$. Attention à bien vérifier que la calculatrice est en mode 'Degrés'.

Question 6 : Théorème de Thalès et rapport de réduction

La dernière partie introduit une droite parallèle. La parallèle à $(IJ)$ passant par $K$ coupe $(JH)$ en $L$. Nous sommes ici dans une configuration de Thalès dite 'en triangle' ou 'emboîtée' de sommet $H$. Les points $H, K, I$ sont alignés ainsi que les points $H, L, J$. Puisque $(LK) \parallel (IJ)$, d'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{HK}{HI} = rac{HL}{HJ} = rac{LK}{IJ}$. En nous concentrant sur le premier et le troisième rapport : $\frac{LK}{IJ} = rac{HK}{HI}$. Nous savons que $HK = 2,4$ et $HI = 6$. Le rapport $\frac{2,4}{6}$ est égal à $0,4$. On a donc bien $LK = 0,4 \times IJ$. Cela signifie que le triangle $HLK$ est une réduction du triangle $HIJ$ de coefficient $0,4$.

Les Pièges et Erreurs Classiques à éviter

1. Confusion Réciproque/Théorème : On utilise la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle, et le théorème pour calculer une longueur. Inverser les noms est une erreur fréquente qui pénalise la note de rédaction. 2. Oubli des carrés : Dans les calculs de Pythagore, n'oubliez jamais d'élever les valeurs au carré avant de les additionner ou soustraire. 3. Mauvaise identification des côtés en trigonométrie : L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit. Le côté opposé dépend de l'angle aigu considéré. Prenez le temps de les identifier au brouillon. 4. Rédaction de Thalès : N'oubliez jamais de mentionner que les points sont alignés et, surtout, que les droites sont parallèles avant d'énoncer l'égalité des rapports.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour chaque question, commencez par citer le triangle dans lequel vous travaillez et précisez s'il est rectangle (pour Pythagore ou la Trigonométrie). Utilisez des connecteurs logiques comme 'Or', 'Donc', 'D'après'. Pour Thalès, la précision sur les droites parallèles est obligatoire. Enfin, encadrez vos résultats et vérifiez toujours la cohérence physique : une hypoténuse doit toujours être le côté le plus long du triangle !