Introduction aux notions clés du Brevet 2026

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2026 pour la zone Antilles est un véritable condensé du programme de géométrie de troisième. Il mobilise quatre piliers fondamentaux : la géométrie plane (calcul de longueurs), le théorème de Pythagore, la trigonométrie, la réciproque du théorème de Thalès et enfin les transformations du plan, plus précisément l'homothétie. Maîtriser cet exercice, c'est s'assurer une base solide pour l'épreuve finale de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Justification de la longueur AM

Le point A appartient au segment [TM]. Dans une configuration de points alignés, la longueur d'un segment est la différence des distances si le point est situé entre les deux autres. Ici, $AM = MT - AT$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies : $AM = 7,7 - 2,2 = 5,5$. La rigueur dans la lecture de l'énoncé est ici récompensée par un calcul simple mais essentiel pour la suite de l'exercice.

2. Utilisation du Théorème de Pythagore pour AB

Le triangle ABM est déclaré rectangle en A par l'énoncé. C'est l'indice immédiat pour utiliser le théorème de Pythagore. L'égalité s'écrit : $AB^2 + AM^2 = MB^2$. Nous cherchons $AB$. On isole donc le terme : $AB^2 = MB^2 - AM^2$. En injectant les valeurs : $AB^2 = 7,3^2 - 5,5^2 = 53,29 - 30,25 = 23,04$. La racine carrée de 23,04 nous donne exactement 4,8 m. Conseil de professeur : Toujours vérifier que l'hypoténuse (7,3) est bien le plus long côté.

3. Trigonométrie : Calcul de l'angle $\widehat{ABM}$

Dans le triangle ABM rectangle en A, nous connaissons désormais les trois côtés. Pour calculer l'angle $\widehat{ABM}$, nous pouvons utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente. Utilisons le sinus : $\sin(\widehat{ABM}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AM}{MB} = \frac{5,5}{7,3}$. À l'aide de la calculatrice, la fonction $\arcsin$ (ou $\sin^{-1}$) donne environ 48,93°. L'énoncé demande un arrondi au degré près, soit 49°. Erreur classique : Oublier de mettre sa calculatrice en mode Degré (DEG).

4. Démontrer le parallélisme : La Réciproque de Thalès

Pour montrer que (TE) et (BM) sont parallèles, il faut comparer les rapports de longueurs issus du sommet commun A. Calculons séparément $\frac{AT}{AM}$ et $\frac{AE}{AB}$. D'une part, $\frac{AT}{AM} = \frac{2,2}{5,5} = 0,4$. D'autre part, $\frac{AE}{AB} = \frac{1,92}{4,8} = 0,4$. Les rapports sont égaux. Puisque les points T, A, M et E, A, B sont alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que (TE) // (BM). La rédaction doit être précise pour obtenir tous les points.

5. Comprendre l'homothétie de centre A

Le triangle ABM est l'image de AET par une homothétie de centre A. Observons la position des points : B et E sont de part et d'autre de A, tout comme T et M. Cela signifie que le rapport est négatif. Pour trouver la valeur absolue du rapport, on divise une longueur de l'image par la longueur correspondante de l'objet initial : $\frac{AM}{AT} = \frac{5,5}{2,2} = 2,5$. Le rapport est donc $-2,5$ (Proposition 3). L'homothétie de rapport négatif correspond à un agrandissement suivi d'une rotation de 180°.

Les Pièges à Éviter au Brevet

De nombreux élèves perdent des points sur la rédaction de la réciproque de Thalès en oubliant de mentionner l'alignement des points dans le bon ordre. De même, lors de l'utilisation de Pythagore, assure-toi de bien identifier l'hypoténuse avant de poser l'équation. Enfin, pour l'homothétie, ne confonds pas le rapport de réduction/agrandissement avec le rapport de l'homothétie qui peut être négatif si les figures sont « opposées » par rapport au centre.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour chaque question, cite le théorème utilisé (« D'après le théorème de... »), pose l'égalité littérale avant de passer aux chiffres, et encadre ton résultat final avec l'unité de mesure correcte (mètres ou degrés). Une copie propre et structurée avec des connecteurs logiques (donc, de plus, par conséquent) augmente considérablement tes chances de réussite.