Introduction à la Géométrie Plane du Brevet 2026

La géométrie plane constitue un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Brevet. Cet exercice, issu du Sujet 0 de l'année 2026, met l'accent sur trois compétences essentielles : la maîtrise de la somme des angles dans un triangle, l'utilisation des propriétés liées aux droites parallèles et perpendiculaires, et l'exploitation des caractéristiques des triangles particuliers (notamment le triangle isocèle). En classe de 3ème, la difficulté ne réside pas seulement dans le calcul numérique, mais surtout dans la capacité à mobiliser la bonne propriété au bon moment et à rédiger une démonstration rigoureuse en utilisant les connecteurs logiques adéquats.

Analyse de la Question 1 : Somme des Angles et Triangle Isocèle

La première question nous demande de rappeler une propriété fondamentale : dans n'importe quel triangle, la somme des mesures de ses trois angles est égale à $180^\circ$. Dans le triangle ABC présenté sur la figure, nous connaissons déjà deux angles : $\widehat{BAC} = 108^\circ$ et $\widehat{ABC} = 36^\circ$. L'angle inconnu, noté $x$ (soit $\widehat{ACB}$), se calcule donc par une simple soustraction : $180 - (108 + 36) = 180 - 144 = 36^\circ$.

D'un point de vue pédagogique, il est intéressant de noter que $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 36^\circ$. Cela signifie que le triangle ABC est isocèle en A. Bien que cela ne soit pas explicitement demandé, repérer cette caractéristique aide l'élève à mieux comprendre la structure de la figure. En situation d'examen, n'oubliez jamais de citer la propriété avant d'effectuer le calcul : « Dans un triangle, la somme des angles est de $180^\circ$, donc... ».

Analyse de la Question 2 : Parallélisme et Propriétés de Position

La question 2a nous interroge sur la relation entre les droites (AB) et (EB). L'énoncé précise que les droites (BA) et (EC) sont parallèles. Sur la figure, un codage (le petit carré au point E) indique que la droite (EB) est perpendiculaire à la droite (EC). Nous devons ici appliquer une propriété de 6ème/5ème souvent oubliée : « Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre ». Puisque (BA) // (EC) et (EB) $\perp$ (EC), on en déduit nécessairement que (AB) $\perp$ (EB). L'angle $\widehat{ABE}$ est donc un angle droit ($90^\circ$).

Pour la question 2b, le calcul de l'angle $y$ ($\widehat{CBE}$) découle de l'observation des angles adjacents. L'angle droit $\widehat{ABE}$ est composé de deux angles : $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBE}$. Comme $\widehat{ABE} = 90^\circ$ et que nous savons par l'énoncé que $\widehat{ABC} = 36^\circ$, nous obtenons $y = 90 - 36 = 54^\circ$. La clarté de la justification est ici la clé pour obtenir le maximum de points.

Analyse de la Question 3 : Alignement et Isométrie

Enfin, la question 3 s'intéresse à l'angle $z$ ($\widehat{ADC}$). La première étape consiste à exploiter l'alignement des points B, A et D. Un angle plat mesure $180^\circ$. Ainsi, $\widehat{BAD} = 180^\circ$. L'angle $\widehat{CAD}$ est donc le supplément de l'angle $\widehat{BAC}$. On calcule : $\widehat{CAD} = 180 - 108 = 72^\circ$.

L'observation attentive du triangle ACD révèle la présence de doubles barres (codage) sur les segments [AC] et [CD]. Ce codage signifie que AC = CD, le triangle ACD est donc isocèle en C. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure. Par conséquent, l'angle $\widehat{ADC}$ (noté $z$) est égal à l'angle $\widehat{CAD}$. On conclut donc que $z = 72^\circ$. Cette question est la plus complexe car elle nécessite de combiner deux propriétés différentes : celle des angles supplémentaires et celle des triangles isocèles.

Les Pièges Classiques à Éviter

Plusieurs erreurs peuvent coûter des points lors de cet exercice. Le premier piège est visuel : ne jamais se fier à l'allure d'un angle sans vérifier les données ou le codage. Par exemple, l'angle $y$ pourrait sembler plus petit qu'il ne l'est réellement. Le second piège concerne la confusion entre les propriétés : ne confondez pas les angles alternes-internes avec les propriétés des triangles isocèles. Enfin, l'oubli des unités (le symbole degré $^\circ$) est une source fréquente de perte de points d'un point de vue de la rigueur mathématique.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser votre note, structurez vos réponses selon le schéma classique : « Je sais que... », « Or... », « Donc... ». Pour la question 3 par exemple : « Je sais que les points B, A, D sont alignés, donc $\widehat{BAD} = 180^\circ$. Or $\widehat{BAC} = 108^\circ$, donc $\widehat{CAD} = 72^\circ$. De plus, AC = CD d'après le codage, donc le triangle ACD est isocèle en C. Les angles à la base sont égaux, donc $z = 72^\circ$. » Ce type de rédaction prouve au correcteur que vous ne donnez pas le résultat au hasard mais que vous suivez un cheminement logique imparable.