Introduction aux Fonctions et à la Proportionnalité pour le Brevet 2026

Dans cet exercice issu du sujet 0 pour la session 2026 du Brevet de Mathématiques, nous abordons deux piliers du programme de 3ème : les fonctions affines et les fonctions linéaires. La maîtrise de ces notions est indispensable car elles représentent environ 15% des points de l'épreuve finale. L'exercice se concentre sur la double compétence : l'expression algébrique (le calcul) et la représentation graphique (la lecture de courbes). Comprendre le lien entre une formule type $f(x) = ax + b$ et sa droite est l'objectif principal ici.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente deux fonctions distinctes : $f(x) = 4x + 3$ et $g(x) = 6x$.

1. Identifier la proportionnalité

La première question demande d'identifier la situation de proportionnalité. En mathématiques, une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, dont la forme est toujours $g(x) = ax$. Graphiquement, cela se traduit par une droite qui passe impérativement par l'origine du repère $(0,0)$. Ici, la fonction $g$ correspond à ce critère, contrairement à $f$ qui est une fonction affine (présence de l'ordonnée à l'origine $+3$).

2. Le calcul d'image : Maîtriser le processus

Calculer l'image de $0$ par la fonction $g$ revient à remplacer la variable $x$ par la valeur $0$ dans l'expression donnée. Pour $g(x) = 6x$, nous effectuons $g(0) = 6 \times 0 = 0$. Ce résultat confirme que la droite représentative de $g$ passe par l'origine. Pour l'élève, il est crucial de ne pas confondre l'image (le résultat en $y$) et l'antécédent (la valeur de départ en $x$).

3. Recherche d'antécédent : Résoudre une équation

Déterminer l'antécédent de $0$ par la fonction $f$ nécessite de résoudre l'équation $f(x) = 0$. Soit $4x + 3 = 0$. Pour isoler $x$, on soustrait 3 de chaque côté ($4x = -3$), puis on divise par 4. L'antécédent est donc $x = -\frac{3}{4}$ ou $-0,75$. C'est un point de vigilance classique au Brevet : l'antécédent se lit sur l'axe des abscisses.

4. Association Droite-Fonction : La lecture graphique

Pour associer chaque droite $(d_1)$ et $(d_2)$ à sa fonction, deux méthodes sont possibles. La première repose sur l'ordonnée à l'origine : la droite représentant $f(x) = 4x + 3$ doit couper l'axe des ordonnées au point $(0,3)$. La seconde méthode utilise le coefficient directeur (la pente). On observe que $(d_1)$ passe par l'origine, c'est donc la représentation de $g(x)$. Par élimination et vérification du point $(0,3)$, $(d_2)$ représente la fonction $f$.

5. Intersection de droites : Interprétation graphique

Le point d'intersection des deux droites correspond à la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. Graphiquement, on repère le point où $(d_1)$ et $(d_2)$ se croisent. En observant attentivement les graduations (attention, l'axe des abscisses avance de 0,5 en 0,5 et celui des ordonnées de 2 en 2), on identifie le point de coordonnées $(1,5 ; 9)$. Pour vérifier par le calcul : $4 \times 1,5 + 3 = 6 + 3 = 9$ et $6 \times 1,5 = 9$. La lecture est cohérente.

Les Pièges à Éviter au Brevet

Attention à l'échelle des axes ! Dans cet exercice, les unités ne sont pas les mêmes en abscisse et en ordonnée ($Dx=0,5$ et $Dy=2$). Une erreur fréquente consiste à lire les carreaux sans regarder les valeurs. Un autre piège réside dans la confusion entre $f(x) = y$ (l'image) et $x$ (l'antécédent). Rappelez-vous : l'antécédent est 'avant' (sur l'axe horizontal), l'image est le résultat (sur l'axe vertical).

Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points

Pour la question 4, ne vous contentez pas d'une réponse courte. Utilisez une phrase structurée : 'La fonction $g$ est une fonction linéaire, sa représentation graphique est donc une droite passant par l'origine. Sur le graphique, seule la droite $(d_1)$ vérifie cette propriété, donc $(d_1)$ représente $g$.' Une justification rigoureuse garantit le maximum de points selon les barèmes de l'Éducation Nationale.