Introduction aux Fonctions et à la Proportionnalité au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2023 pour les centres étrangers, constitue un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Il aborde trois notions interdépendantes : les fonctions linéaires, les fonctions affines et la lecture graphique. À travers la thématique concrète de la location de bateaux électriques, l'élève est amené à modéliser une situation de la vie réelle par des outils mathématiques abstraits. La maîtrise de ces concepts est essentielle, car ils représentent environ 15% à 20% des points lors de l'examen final. L'objectif ici est de comprendre comment interpréter une courbe, justifier la proportionnalité et comparer des tarifs pour optimiser un budget.

Analyse Méthodique de la Société A : La Fonction Linéaire

La première partie de l'exercice se concentre sur l'analyse graphique du tarif proposé par la société A. En observant le graphique, nous constatons que la courbe représentative est une droite qui passe par l'origine du repère (0,0). C'est la signature visuelle d'une situation de proportionnalité, modélisée par une fonction linéaire de type $g(x) = ax$.

Pour la question 1.a, la lecture graphique directe permet d'associer une valeur en abscisse (durée de location) à une valeur en ordonnée (prix). Pour 2 heures de location, on se place sur le chiffre 2 de l'axe horizontal, on remonte verticalement jusqu'à la droite bleue, puis on se reporte horizontalement sur l'axe des ordonnées pour lire $60$ €. L'unité est ici cruciale : n'oubliez jamais de mentionner l'euro.

La question 1.b demande une lecture inverse : avec $100$ €, on cherche l'antécédent. Graphiquement, pour $100$ €, on croise la droite entre 3 et 3,5 heures. Comme l'énoncé précise que l'on loue pour un nombre entier d'heures, on ne peut louer que 3 heures pleines. La 1.c est la justification théorique : « Le prix est proportionnel à la durée car la représentation graphique est une droite passant par l'origine ». Enfin, pour 10 heures (question 1.d), on calcule le coefficient de proportionnalité $a = 60 / 2 = 30$. Le prix pour 10 heures est donc $10 \times 30 = 300$ €.

Analyse de la Société B : La Fonction Affine

La société B introduit une structure de prix différente : un coût fixe (frais de dossier) et un coût variable (prix par heure). C'est la définition même d'une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$, où $b$ est l'ordonnée à l'origine ($60$ €) et $a$ est le taux d'accroissement ($15$ €/h).

À la question 2.a, la vérification du prix pour 2 heures se fait par le calcul : $60 + 2 \times 15 = 60 + 30 = 90$ €. Pour la question 2.b, le tracé de la fonction $f(x) = 15x + 60$ nécessite deux points : le premier à $(0 ; 60)$ et le second que nous venons de calculer à $(2 ; 90)$. En reliant ces points par une droite, on obtient la représentation graphique. On remarque immédiatement que cette droite ne passe pas par l'origine. Par conséquent, à la question 2.c, on répond que le prix n'est pas proportionnel à la durée, car la fonction n'est pas linéaire ($f(0) \neq 0$).

Comparaison des Tarifs et Optimisation

La comparaison des tarifs est l'aboutissement de l'exercice. Pour 3 heures de location (question 3.a) :
- Société A : $3 \times 30 = 90$ €.
- Société B : $3 \times 15 + 60 = 45 + 60 = 105$ €.
La société A est donc la plus avantageuse pour une courte durée. Cependant, le graphique montre que les deux droites se croisent. Ce point d'intersection (question 3.b) correspond au moment où les tarifs sont identiques. Algébriquement, on résout $30x = 15x + 60$, ce qui donne $15x = 60$, soit $x = 4$. Pour 4 heures de location, le prix sera le même pour les deux sociétés ($120$ €). Au-delà de 4 heures, la société B devient moins chère, car sa pente ($15$) est plus faible que celle de la société A ($30$).

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le piège principal dans cet exercice est la confusion entre valeurs entières et valeurs réelles. L'énoncé stipule dès le début que les bateaux se louent pour un nombre entier d'heures. Si vous trouvez $3,33$ heures lors d'un calcul, la réponse attendue est $3$ heures. Un autre point de vigilance concerne les unités : un prix s'exprime en euros, une durée en heures. Ne donnez jamais un résultat brut sans unité.

Pour la rédaction, soyez précis dans votre vocabulaire : utilisez les termes « abscisse », « ordonnée », « antécédent » et « image ». Pour justifier la proportionnalité graphique, la phrase « C'est une droite qui passe par l'origine » est la seule acceptée pour obtenir le maximum de points. Enfin, lors du tracé de la courbe de la société B, utilisez une règle et assurez-vous que vos points sont parfaitement positionnés sur le quadrillage fourni.

Conclusion : Ce qu'il faut retenir pour le Brevet

Ce sujet de 2023 illustre parfaitement l'importance de savoir passer d'un énoncé textuel à un graphique, puis à une formule mathématique. Savoir qu'une fonction linéaire traduit une proportionnalité et qu'une fonction affine ne le fait pas (sauf si l'ordonnée à l'origine est nulle) est un savoir fondamental. En maîtrisant la résolution d'équations simples pour trouver un point d'intersection, vous garantissez votre réussite sur ce type d'exercice incontournable du DNB.