Introduction aux Programmes de Calcul et à l'Algorithmique

L'exercice 2 du sujet Antilles 2026 est un classique incontournable du Diplôme National du Brevet. Il combine deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul littéral et l'algorithmique (via le logiciel Scratch). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un énoncé textuel à une expression algébrique, à résoudre une équation du premier degré, et à interpréter un script de programmation par blocs. Ces compétences sont essentielles pour réussir l'épreuve de mathématiques car elles représentent souvent entre 10 et 15 points sur 100.

Analyse Méthodique du Programme A

Le Programme A est une séquence d'opérations arithmétiques simples qui doivent être traduites avec rigueur. Dans la première question, on nous demande de vérifier un résultat numérique avec la valeur $1$. Ce type de question est un « cadeau » de l'examinateur pour mettre l'élève en confiance. Suivons les étapes :
1. Choisir $1$.
2. Soustraire $2$ : $1 - 2 = -1$.
3. Multiplier par $5$ : $-1 \times 5 = -5$.
4. Ajouter le triple du nombre de départ : $-5 + 3 \times 1 = -5 + 3 = -2$.
Le résultat est bien $-2$. La rédaction doit être claire, en listant chaque étape comme montré ici.

Le Passage à l'Abstraction : La Variable $x$

La question 2(a) demande de démontrer que le résultat est $8x - 10$. C'est ici que le calcul littéral entre en jeu. Appliquons le programme à $x$ :
1. Nombre de départ : $x$.
2. Soustraire $2$ : $x - 2$.
3. Multiplier par $5$ : Attention, il faut multiplier TOUT le bloc précédent, donc on utilise des parenthèses : $5(x - 2)$.
4. Ajouter le triple du nombre de départ : $5(x - 2) + 3x$.
Pour obtenir la forme finale, on applique la simple distributivité : $5 \times x - 5 \times 2 + 3x = 5x - 10 + 3x$. En regroupant les termes en $x$, on obtient $8x - 10$. Cette démonstration est cruciale pour la suite de l'exercice.

Résolution d'Équation et Recherche d'Antécédent

Dans la question 2(b), on cherche $x$ tel que $8x - 10 = 0$. Il s'agit d'une équation du premier degré à une inconnue. La méthode consiste à isoler $x$ :
1. On ajoute $10$ des deux côtés : $8x = 10$.
2. On divise par $8$ : $x = \frac{10}{8} = 1,25$.
Il faut donc choisir $1,25$ au départ pour obtenir zéro. Un conseil : vérifiez toujours votre résultat en refaisant le programme avec la valeur trouvée.

Analyse du Programme B (Scratch) et Comparaison

Le programme B introduit l'algorithmique. Le bloc demander et attendre stocke la valeur dans réponse. Les étapes sont :
1. $4 \times \text{réponse}$.
2. Soustraire $5$ au résultat précédent.
3. Multiplier le tout par $2$.
Pour le nombre $1$ : $4 \times 1 = 4$ ; puis $4 - 5 = -1$ ; enfin $2 \times (-1) = -2$. On remarque que le résultat est identique à celui du Programme A pour la valeur $1$.
Pour prouver que c'est vrai pour tout $x$ (Question 3b), traduisons Scratch en expression : $2 \times (4x - 5)$. En développant : $2 \times 4x - 2 \times 5 = 8x - 10$. Les deux expressions sont strictement identiques, ce qui prouve l'équivalence des deux programmes.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le piège principal réside dans l'oubli des parenthèses lors de la traduction du Programme A (étape 3) et du Programme B (étape finale). Sans parenthèses, la priorité opératoire fausse tout le calcul. Concernant Scratch, ne confondez pas le contenu de la variable résultat avec le nombre de départ. Enfin, pour la rédaction, utilisez des connecteurs logiques (donc, alors, on en déduit que) et encadrez vos résultats finaux pour faciliter la lecture du correcteur. La maîtrise de la distributivité ($k(a+b) = ka + kb$) est la clé de cet exercice.

Conclusion pédagogique

En maîtrisant cet exercice, l'élève valide des compétences de modélisation et de calcul. La transition entre le langage naturel, le langage algébrique et le langage de programmation est au cœur des nouveaux programmes de 3ème. S'entraîner sur ce sujet Antilles 2026 permet d'anticiper les attentes des épreuves de fin d'année.