Introduction aux notions clés du Brevet 2013

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2013 (Métropole) est une épreuve de type 'Vrai/Faux' avec justification. Ce format est particulièrement exigeant car il ne suffit pas de deviner la réponse : la rigueur mathématique est primordiale pour obtenir l'intégralité des points. Cet exercice mobilise quatre compétences majeures du programme de 3ème : le calcul numérique avec les fractions, la gestion des pourcentages, le calcul littéral et la notion de multiples d'un entier. Maîtriser ces concepts est indispensable pour aborder le lycée sereinement.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Les Fractions

L'affirmation porte sur la répartition d'adhérents dans un club sportif. Pour analyser cette situation, il faut procéder par étapes logiques. On nous indique que les trois quarts (\frac{3}{4}) des adhérents sont mineurs. Par déduction immédiate, le reste des adhérents, soit un quart (1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}), correspond aux adhérents majeurs. C'est ici que réside la première subtilité : le calcul suivant porte sur une fraction de fraction.

Le texte précise que le tiers des majeurs a plus de 25 ans. Mathématiquement, 'le tiers de' se traduit par une multiplication par \frac{1}{3}. Ainsi, la proportion des plus de 25 ans parmi l'ensemble du club est \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}. On nous demande de trouver la proportion de ceux qui ont entre 18 et 25 ans. Ces adhérents sont les majeurs qui n'ont pas plus de 25 ans. Si \frac{1}{3} des majeurs a plus de 25 ans, alors les \frac{2}{3} restants des majeurs ont entre 18 et 25 ans. Le calcul final est donc : \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12}. En simplifiant la fraction par 2, on obtient bien \frac{1}{6}. L'affirmation 1 est donc VRAIE.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Pourcentages et Évolutions

Bien que l'énoncé source soit tronqué, ce type d'affirmation classique porte généralement sur les baisses successives de prix. Une erreur fréquente des élèves de 3ème est de penser que les pourcentages s'additionnent ou se soustraient directement (arithmétiquement). Par exemple, si l'on baisse un prix de 30% puis de 10%, la baisse totale n'est jamais de 40%. Pourquoi ? Parce que la deuxième réduction s'applique sur un prix déjà réduit, et non sur le prix initial.

Pour justifier ce type d'affirmation, il faut utiliser les coefficients multiplicateurs. Une baisse de 30% revient à multiplier le prix initial par 0,70 (car 1 - 0,30 = 0,70). Si l'on applique ensuite une baisse de 10%, on multiplie par 0,90. Le coefficient global est 0,70 \times 0,90 = 0,63. Une multiplication par 0,63 correspond à une baisse réelle de 37% (1 - 0,63 = 0,37). Il est crucial de toujours repasser par cette méthode multiplicative pour ne pas tomber dans le piège de la somme linéaire des pourcentages.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Calcul Littéral et Multiples

Ici, on s'intéresse à l'expression $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$. Pour prouver qu'il s'agit d'un multiple de 4 pour tout entier $n$, deux méthodes sont possibles : le développement ou l'identité remarquable $a^2 - b^2$.

Méthode par le développement : En utilisant les identités remarquables $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$, on obtient : $(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)$. En faisant attention au signe moins devant la parenthèse qui change tous les signes intérieurs, on arrive à : $n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n$. Par définition, $4n$ est un multiple de 4 puisque $n$ est un entier. L'affirmation 3 est donc VRAIE.

Les Pièges à Éviter

Dans cet exercice, le piège principal de l'affirmation 1 est d'oublier de définir l'ensemble de référence (on travaille sur la fraction des majeurs, pas sur le total). Pour l'affirmation 3, l'erreur classique se situe dans la gestion du signe 'moins' lors du développement de $(n-1)^2$. N'oubliez jamais que le signe devant une parenthèse distribue son effet sur chaque terme à l'intérieur. Enfin, pour les pourcentages, retenez cette règle d'or : ne jamais additionner deux taux d'évolution entre eux.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, votre rédaction doit être structurée. Commencez toujours par annoncer 'Affirmation X : Vraie' ou 'Fausse' après avoir fait votre calcul au brouillon. Présentez ensuite vos calculs de manière claire, en utilisant les symboles mathématiques appropriés. Pour le calcul littéral, montrez chaque étape de la réduction. Pour les affirmations textuelles, une phrase de conclusion qui reprend les termes de l'énoncé ('On a donc bien démontré que...') permet de montrer au correcteur que vous avez parfaitement compris la problématique.