Introduction aux notions de Calcul Littéral et Programmes de Calculs

Dans le cadre de la préparation au Brevet 2026, cet exercice se concentre sur deux piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : le programme de calculs et le calcul littéral. Un programme de calcul est une suite d'instructions mathématiques à appliquer à un nombre de départ. C'est l'outil idéal pour introduire la notion de fonction et de variable. Le calcul littéral, quant à lui, permet de généraliser ces processus en utilisant une lettre, généralement $x$, pour représenter n'importe quel nombre réel. Maîtriser le passage du langage naturel (les instructions) au langage algébrique (les expressions) est une compétence fondamentale évaluée lors de l'examen final.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente un algorithme simple composé de quatre étapes : le choix du nombre, la multiplication par 2, l'élévation au carré, et enfin la soustraction de 9.

Question 1 : Vérification par l'arithmétique

Ici, on demande de tester le programme avec le nombre 4. C'est une phase de vérification qui permet de s'assurer de la bonne compréhension des instructions avant d'entrer dans l'abstraction. Voici le raisonnement étape par étape :
1. Choisir le nombre : $4$.
2. Le multiplier par 2 : $4 \times 2 = 8$.
3. Élever le résultat au carré : $8^2 = 8 \times 8 = 64$.
4. Retrancher 9 : $64 - 9 = 55$.
Le résultat final est bien $55$. Pour obtenir tous les points à cette question, il est impératif de détailler chaque ligne de calcul sur votre copie, car le résultat est donné dans l'énoncé.

Question 2a : Modélisation littérale

Le passage à la variable $x$ demande de la rigueur. L'étape critique se situe au niveau de l'élévation au carré. Si le nombre choisi est $x$, multiplier par 2 donne $2x$. Lorsqu'on élève $2x$ au carré, c'est tout le bloc qui subit l'opération. On obtient donc l'expression $(2x)^2$, ce qui équivaut à $4x^2$. Enfin, en retranchant 9, l'expression finale est $(2x)^2 - 9$ ou $4x^2 - 9$.

Question 2b : Identification et Identités Remarquables

On nous propose quatre expressions : $A=55$, $B=(2x+3)^2$, $C=(2x-3)(2x+3)$ et $D=(2x-3)^2$.
En analysant notre résultat $(2x)^2 - 9$, on reconnaît une structure de type $a^2 - b^2$, où $a = 2x$ et $b = 3$. Selon l'identité remarquable de la différence de deux carrés, nous savons que $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ainsi, $(2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$. L'expression correcte est donc la proposition $C$. Cette question évalue votre capacité à faire le lien entre une forme développée et une forme factorisée.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points précieux lors de l'épreuve :
1. La confusion sur le carré : Attention à ne pas écrire $2x^2$ au lieu de $(2x)^2$. Dans $2x^2$, seul le $x$ est au carré. Dans $(2x)^2$, le coefficient 2 est aussi élevé au carré, ce qui donne $4x^2$.
2. La priorité des opérations : Le programme suit un ordre précis. On ne soustrait pas 9 avant d'avoir élevé au carré.
3. Le choix de l'expression : Ne vous précipitez pas sur l'expression $D$ car elle ressemble à l'énoncé. Développez toujours les propositions pour vérifier laquelle correspond réellement à votre résultat de la question 2a.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, présentez vos calculs de manière aérée. Utilisez des connecteurs logiques tels que 'donc', 'ainsi' ou 'd'une part / d'autre part'. Pour la question 1, montrez clairement que vous avez compris que 'retrancher' signifie 'soustraire'. Pour la question 2b, justifiez votre choix soit en développant l'expression $C$ pour montrer qu'elle est égale à $4x^2 - 9$, soit en factorisant votre résultat précédent. Une réponse parachutée sans justification peut être pénalisée par le correcteur.