Introduction aux Programmes de Calcul et au Calcul Littéral

L'exercice 3 du sujet de Brevet 2026 (Zone Asie) est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mobilise trois piliers majeurs des mathématiques au collège : les programmes de calcul (représentés sous forme d'algorithmes visuels), l'utilisation du tableur pour modéliser des fonctions, et le calcul littéral (développement et résolution d'équations). Maîtriser ce type d'exercice est essentiel, car il revient quasi systématiquement sous différentes formes lors de l'examen final.

Analyse Méthodique du Programme A

La première partie consiste à passer d'un schéma visuel à un calcul arithmétique simple. Pour le nombre 5, l'élève doit suivre deux chemins parallèles avant de les regrouper. Le chemin de gauche calcule le carré du nombre multiplié par 3, soit $3 \times 5^2 = 75$. Le chemin de droite multiplie le nombre par 7, soit $7 \times 5 = 35$. L'addition des deux donne 110, et la soustraction finale de 6 aboutit à 104.

Maîtrise de l'Outil Tableur

La question 2 demande d'identifier la syntaxe spécifique d'un tableur. Dans une cellule (ici B2), une formule commence toujours par le signe égal. Le défi est de traduire la mise au carré. En informatique, le carré d'un nombre $A2$ s'écrit soit $A2*A2$, soit $A2^2$. La formule correcte est donc = 3 * A2 * A2 + 7 * A2 - 6. Notez que la formule = 3 * A2 * 2 + 7 * A2 - 6 est un piège classique : elle multiplie par 2 au lieu d'élever à la puissance 2.

Passage à l'Expression Littérale

Généraliser un programme avec une variable $x$ est une étape cruciale. Pour le programme A, en suivant le schéma, on obtient l'expression $3x^2 + 7x - 6$. Cette forme polynomiale de degré 2 est la signature du programme. À l'aide du tableau fourni, on observe que pour la valeur -3 dans la colonne A, le résultat dans la colonne B est 0. C'est une vérification par lecture de données.

Comparaison et Double Distributivité

Le programme B introduit une structure de produit : $(3x-2)(x+3)$. Pour vérifier l'affirmation de Mathis, il faut développer cette expression en utilisant la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. En appliquant cela : $3x \times x + 3x \times 3 - 2 \times x - 2 \times 3$, ce qui donne $3x^2 + 9x - 2x - 6$, soit $3x^2 + 7x - 6$. Mathis a raison : les deux expressions sont strictement identiques, ce qui signifie que les deux programmes donneront toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.

Résolution de l'Équation-Produit Nulle

La dernière question porte sur l'équation $(3x-2)(x+3) = 0$. Il s'agit d'une équation-produit nulle. La règle fondamentale à citer est : "Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul". On résout donc séparément $3x - 2 = 0$ (qui donne $x = 2/3$) et $x + 3 = 0$ (qui donne $x = -3$). Ces deux valeurs sont les "racines" qui permettent aux programmes A et B d'afficher un résultat nul. On retrouve ici la valeur -3 déjà identifiée grâce au tableur.

Conseils de Rédaction et Pièges à Éviter

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de votre développement. Ne vous contentez pas de donner le résultat final de l'expression littérale. Utilisez des phrases de liaison comme "D'une part... D'autre part...". Attention aux signes : lors du développement du programme B, le terme $-2 \times 3$ devient bien $-6$. Une erreur de signe ici invaliderait la démonstration de l'égalité entre les deux programmes. Enfin, pour le tableur, n'oubliez jamais le signe égal au début de la formule.