Introduction aux notions du QCM de Mathématiques

L'exercice 3 du sujet de Polynésie 2025 est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) qui balaie un spectre large du programme de troisième. Ce type d'exercice est stratégique : il permet de récolter des points rapidement, mais demande une vigilance absolue. Les thématiques abordées ici sont fondamentales pour la réussite du Brevet des collèges : les puissances (gestion des signes), l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), la géométrie de base (aires et longueurs), le calcul littéral (modélisation de segments) et les transformations du plan (translations).

Analyse détaillée de la Question 1 : Puissances et Signes

La question porte sur le calcul de $(-3)^2$. C'est un classique des épreuves de mathématiques qui teste la compréhension de la priorité des parenthèses. Ici, l'exposant 2 porte sur l'ensemble du nombre entre parenthèses, soit $-3$. Or, le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif : $(-3) \times (-3) = 9$.
L'analyse du professeur : Ne confondez jamais $(-3)^2$ (qui donne 9) avec $-3^2$. Dans ce dernier cas, le carré ne porte que sur le 3, et le signe - reste devant, ce qui donnerait $-9$. La réponse correcte est donc la Réponse D.

Analyse de la Question 2 : Décomposition en facteurs premiers

On demande la décomposition du nombre $360$. Pour réussir sans erreur, il faut diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles ($2, 3, 5, 7...$).
1. $360$ est pair : $360 = 2 \times 180$
2. $180$ est pair : $180 = 2 \times 90$
3. $90$ est pair : $90 = 2 \times 45$
4. $45$ se divise par $3$ (somme des chiffres $4+5=9$) : $45 = 3 \times 15$
5. $15$ se divise par $3$ : $15 = 3 \times 5$
En regroupant, nous avons $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$, ce qui s'écrit $2^3 \times 3^2 \times 5$.
Le piège : La réponse A contient le chiffre 9, qui n'est pas un nombre premier. La réponse B contient 8, qui n'est pas premier non plus. La réponse C introduit un 7 qui n'est pas diviseur de 360. La bonne réponse est la Réponse D.

Analyse de la Question 3 : Calcul d'aire et de longueur

On nous donne l'aire d'un rectangle ($135$ cm$^2$) et sa largeur ($3$ cm). La formule de l'aire d'un rectangle est $\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur}$. Pour trouver la longueur manquante, il faut donc effectuer une division : $\text{Longueur} = \text{Aire} / \text{Largeur}$.
Calcul : $135 / 3 = 45$.
Le raisonnement est simple mais exige de ne pas se tromper dans l'opération de tête. $135$ divisé par $3$ : on sait que $120 / 3 = 40$ et $15 / 3 = 5$, donc $40 + 5 = 45$. La réponse est la Réponse B.

Analyse de la Question 4 : Modélisation et Calcul Littéral

Sur la figure fournie, on observe un segment [BG] décomposé en plusieurs parties. Les codages (petits traits) indiquent que les segments [BD] et [DE] ont la même longueur, notée $x$. Le segment [EG] est quant à lui marqué par la valeur numérique $3$.
Pour obtenir la longueur totale du segment [BG], on additionne les parties qui le composent :
$BG = BD + DE + EG$
$BG = x + x + 3$
$BG = 2x + 3$.
Erreur fréquente : Certains élèves pourraient être tentés de multiplier les longueurs et de répondre $3x^2$, mais nous sommes dans une somme de longueurs. La réponse correcte est la Réponse D.

Analyse de la Question 5 : Translation et Grille Géométrique

La question porte sur l'image du rectangle $GFHI$ par la translation qui transforme $D$ en $M$. Une translation peut être vue comme un 'glissement'.
1. Identifions le vecteur de translation $D \to M$ : Pour passer de $D$ (en haut à droite) à $M$ (plus bas vers la gauche), on descend de deux rangées et on se déplace d'une colonne vers la gauche.
2. Appliquons ce mouvement au rectangle $GFHI$. Prenons le point $G$ : descendre de deux rangées et aller à gauche d'une colonne nous amène au point $K$. Prenons le point $I$ : le même mouvement nous amène au point $L$.
En suivant cette logique pour les quatre sommets, le rectangle $GFHI$ glisse sur le rectangle $KBOL$. La réponse est la Réponse C.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Dans un QCM, les 'distracteurs' (mauvaises réponses) ne sont pas choisis au hasard. Ils correspondent aux erreurs les plus fréquentes.
1. **En arithmétique** : Vérifiez toujours que chaque facteur de votre produit est bien un nombre **premier**. Si vous voyez un 4, un 8 ou un 9, la réponse est fausse d'office.
2. **En géométrie** : Attention aux unités. Si l'aire est en cm$^2$ et la largeur en cm, la longueur sera obligatoirement en cm.
3. **En calcul littéral** : Ne confondez pas $x + x$ ($2x$) et $x \times x$ ($x^2$). C'est une erreur classique qui coûte cher.

Conseils de Rédaction

Même si aucune justification n'est demandée dans un QCM, il est fortement conseillé de faire ses calculs au brouillon. Pour la copie, respectez scrupuleusement la consigne : 'Recopier le numéro de la question et la réponse choisie'. Exemple : 'Question 1 : Réponse D'. N'essayez pas de justifier si ce n'est pas demandé, vous perdriez un temps précieux pour la suite de l'épreuve de mathématiques.