Introduction aux probabilités du Brevet 2025

Les probabilités constituent un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice, issu de la session 2025 pour la Métropole, met en œuvre des concepts de base : l'équiprobabilité, le dénombrement d'issues et la manipulation des fractions. L'énoncé repose sur deux urnes distinctes, ce qui permet d'évaluer la capacité de l'élève à comparer des situations aléatoires. La mention 'indiscernables au toucher' est cruciale en mathématiques : elle garantit que nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, où chaque boule a exactement la même chance d'être tirée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Probabilité d'un nombre pair dans l'urne A

L'urne A contient 6 boules au total. C'est notre dénominateur. Pour trouver la probabilité d'obtenir un nombre pair, nous devons identifier les issues favorables dans l'ensemble $A = \{7, 10, 12, 15, 24, 30\}$. Les nombres pairs sont ceux divisibles par 2 : 10, 12, 24 et 30. Il y a donc 4 issues favorables sur 6. La probabilité est $\frac{4}{6}$, ce qui se simplifie en $\frac{2}{3}$. En rédaction, n'oubliez pas d'énoncer clairement la liste des nombres identifiés.

Question 2 : Nombres premiers et justification dans l'urne B

Ici, l'urne B compte 9 boules. Rappelons qu'un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Analysons l'urne $B = \{2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25\}$. Les nombres premiers sont : 2, 5 et 17. Le nombre 21 n'est pas premier (divisible par 3 et 7), et 25 non plus (divisible par 5). Nous avons donc 3 issues favorables sur 9. La probabilité est $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. La justification doit passer par la liste exhaustive des nombres premiers présents.

Question 3 : Comparaison des multiples de 6

Pour l'urne A, les multiples de 6 sont : 12, 24 et 30 (soit 3 boules). Pour l'urne B, les multiples de 6 sont : 6 et 18 (soit 2 boules). Bien que l'urne B soit plus volumineuse, c'est l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6. Attention à bien lire la question : on demande le 'plus grand nombre' et non la 'plus grande probabilité'.

Question 4 : Égalité des probabilités (Seuil 20)

Calculons séparément. Dans l'urne A, les nombres $\ge 20$ sont 24 et 30 (2 boules sur 6, soit $P = 1/3$). Dans l'urne B, les nombres $\ge 20$ sont 21, 22 et 25 (3 boules sur 9, soit $P = 1/3$). Les probabilités sont identiques. C'est un point classique du Brevet : montrer que deux fractions différentes peuvent représenter une même proportion.

Question 5 : Modification des urnes et analyse d'impact

En ajoutant la boule 50, l'urne A passe à 7 boules (3 favorables : 24, 30, 50) et l'urne B passe à 10 boules (4 favorables : 21, 22, 25, 50). Comparons $\frac{3}{7}$ et $\frac{4}{10}$. $\frac{3}{7} \approx 0,428$ tandis que $\frac{4}{10} = 0,4$. Les probabilités ne sont plus égales. L'ajout d'une valeur identique ne conserve pas l'égalité des probabilités si les effectifs totaux de départ sont différents.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la définition des nombres premiers : n'oubliez pas que 1 n'est pas un nombre premier et que 2 est le seul nombre premier pair. Un autre piège classique est de confondre 'multiple' et 'diviseur'. Enfin, soyez vigilants sur les inégalités : 'supérieur ou égal' inclut le nombre cité, alors que 'strictement supérieur' l'exclut.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, utilisez systématiquement la formule : $P(\text{évènement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. Présentez vos résultats sous forme de fractions simplifiées, sauf si l'énoncé demande une valeur décimale ou un pourcentage. Chaque étape de dénombrement doit être justifiée par une liste ou une phrase explicative claire.