Introduction aux Polygones Réguliers et à la Géométrie Plane

Cet exercice issu du sujet de Brevet 2015 (Zone Nouvelle-Calédonie) constitue un pilier fondamental pour réviser la géométrie plane et les propriétés des polygones réguliers. En classe de 3ème, la maîtrise des angles au centre et des caractéristiques des figures usuelles (carré, pentagone, hexagone) est indispensable. Un polygone est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. Cette symétrie parfaite permet d'utiliser des propriétés mathématiques spécifiques liées au cercle circonscrit.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Compréhension de l'Angle au Centre

La première partie de l'exercice demande d'expliquer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ pour différentes figures. Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au polygone. Dans un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle au centre est obtenu en divisant un tour complet ($360^{\circ}$) par le nombre de côtés $n$.

• Le Carré ($n=4$) : Le calcul est immédiat : $360 / 4 = 90$. L'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure donc $90^{\circ}$. Géométriquement, les diagonales d'un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, ce qui confirme ce résultat.
• Le Pentagone Régulier ($n=5$) : Pour cette figure à cinq côtés, nous appliquons la même logique : $360 / 5 = 72$. Ainsi, l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure $72^{\circ}$. C'est une valeur caractéristique du nombre d'or que l'on retrouve souvent dans les constructions géométriques complexes.
• L'Hexagone Régulier ($n=6$) : Pour l'hexagone, le calcul devient $360 / 6 = 60$. L'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure $60^{\circ}$. Une propriété cruciale à retenir ici est que le triangle $AOB$ est non seulement isocèle (car $OA = OB = \text{rayon}$), mais puisqu'il possède un angle de $60^{\circ}$, il est équilatéral. Cela signifie que le côté de l'hexagone est égal au rayon du cercle circonscrit.

2. Détermination du nombre de côtés et calcul du périmètre

La seconde question est plus subtile car elle demande une démarche inverse. On connaît la mesure d'un angle au sommet ($140^{\circ}$) et la longueur d'un côté ($5 \text{ cm}$), et l'on cherche le périmètre. Pour trouver le périmètre, il est impératif de déterminer le nombre de côtés $n$ du polygone.

La formule reliant l'angle au sommet $\alpha$ d'un polygone régulier à son nombre de côtés $n$ est : $\alpha = \frac{(n-2) \times 180}{n}$.
En remplaçant par les données de l'énoncé :
$140 = \frac{180n - 360}{n}$
$140n = 180n - 360$
$40n = 360$
$n = 360 / 40 = 9$.
Le polygone possède donc 9 côtés (c'est un ennéagone ou nonagone).

Calcul final : Le périmètre $P$ est égal au nombre de côtés multiplié par la longueur d'un côté. $P = 9 \times 5 = 45 \text{ cm}$.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente lors de l'examen du Brevet est la confusion entre l'angle au centre (sommet en $O$) et l'angle au sommet du polygone. L'angle au centre est $360/n$, tandis que l'angle au sommet est le supplément de l'angle au centre si l'on considère le triangle isocèle formé par deux rayons. Une autre méthode pour la question 2 consiste à utiliser l'angle extérieur : si l'angle intérieur est de $140^{\circ}$, l'angle extérieur est de $180 - 140 = 40^{\circ}$. Comme la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est toujours $360^{\circ}$, on trouve $360 / 40 = 9$ côtés.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le résultat numérique. Utilisez des phrases de liaison telles que : 'Comme le polygone est régulier, tous les angles au centre sont égaux.' ou 'D'après la formule de la somme des angles d'un polygone...'. Pour la question 2, l'énoncé précise que toute trace de recherche sera valorisée. Si vous ne vous souvenez pas de la formule, dessinez un schéma, essayez des valeurs pour $n$ (7, 8, 9...), et montrez au correcteur votre logique de résolution. N'oubliez jamais de préciser l'unité finale (ici les cm) pour le périmètre.