Introduction aux programmes de calcul au Brevet 2025

Les programmes de calcul constituent un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). L'exercice 3 de la zone Amérique du Nord 2025 met en lumière trois compétences essentielles du programme de 3ème : le calcul littéral, la manipulation d'expressions et la résolution d'équations complexes. L'objectif ici est de transformer une série d'instructions verbales ou graphiques en une expression algébrique rigoureuse. Cette transition du langage naturel vers le langage mathématique est souvent le point où les élèves perdent des points précieux. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment un programme peut sembler produire des résultats variables alors qu'il est, en réalité, constant, et comment identifier les racines d'un problème via une équation-produit nul.

Analyse détaillée du Programme A : La preuve par l'algèbre

Le programme A est un classique du genre. On demande d'abord de tester des valeurs numériques : 4 et -2. Pour 4 : (4 × 3 + 15) / 3 - 4 = (12 + 15) / 3 - 4 = 27 / 3 - 4 = 9 - 4 = 5. Pour -2 : (-2 × 3 + 15) / 3 - (-2) = (-6 + 15) / 3 + 2 = 9 / 3 + 2 = 3 + 2 = 5. On remarque une récurrence du résultat 5. Cependant, deux exemples ne suffisent pas à prouver une généralité. C'est là qu'intervient le calcul littéral. En posant $x$ comme nombre de départ, l'expression devient : $((3x + 15) / 3) - x$. En simplifiant la fraction, on obtient $(3x/3 + 15/3) - x$, ce qui donne $(x + 5) - x$. Les $x$ s'annulent, et il ne reste que 5. Cette démonstration est la seule façon de justifier que le programme donne toujours 5, quel que soit le nombre choisi. Pour l'élève, l'astuce consiste à bien distribuer la division par 3 sur les deux termes de l'addition au numérateur.

Analyse du Programme B : Du schéma à l'expression complexe

Le programme B est présenté sous forme de diagramme de flux, ce qui nécessite une lecture attentive. Partant de $x$, on suit deux branches : la soustraction de 1 ($x - 1$) et la soustraction de 6 ($x - 6$). Ces deux résultats intermédiaires doivent ensuite être multipliés : $(x - 1)(x - 6)$. Enfin, on ajoute 5. L'expression finale du programme B est donc $B(x) = (x - 1)(x-6) + 5$. Pour la question 4, avec le nombre 10, on calcule : $(10 - 1) \times (10 - 6) + 5 = 9 \times 4 + 5 = 36 + 5 = 41$. La difficulté ici réside dans la gestion des parenthèses. Sans elles, la priorité des opérations serait faussée, menant à un résultat erroné. Il est crucial de visualiser les blocs de calcul avant de les assembler.

Résolution d'équations : Quand les programmes convergent

La question 5 demande de trouver les nombres pour lesquels les programmes A et B donnent le même résultat. Puisque nous savons que le programme A donne toujours 5, nous devons résoudre l'équation $B(x) = 5$. Cela se traduit par : $(x - 1)(x - 6) + 5 = 5$. En soustrayant 5 de chaque côté, l'équation se simplifie en $(x - 1)(x - 6) = 0$. C'est une équation-produit nul, une notion phare du cycle 4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc séparément $x - 1 = 0$ et $x - 6 = 0$, ce qui nous donne deux solutions : $x = 1$ et $x = 6$. Cette étape démontre l'importance de ne pas développer l'expression de B immédiatement, car la forme factorisée est bien plus simple à manipuler pour trouver des racines.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le premier piège est l'erreur de signe lors de la division ou de la soustraction du nombre de départ dans le programme A. Un classique est d'oublier de diviser le '15' par 3. Le second piège concerne la lecture du schéma du programme B : beaucoup d'élèves oublient les parenthèses lors de la multiplication des deux blocs. Enfin, dans la résolution de l'équation, le réflexe de développer $(x - 1)(x - 6)$ peut complexifier inutilement le problème en faisant apparaître un $x^2$ qu'ils ne sauront pas forcément gérer sans passer par le discriminant (hors programme 3ème). Il faut toujours chercher la simplification ou l'équation-produit nul.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir tous les points, la rédaction doit être structurée. Commencez toujours par déclarer votre variable : "Soit $x$ le nombre choisi au départ". Pour les questions de démonstration (comme la question 3), utilisez des connecteurs logiques : "D'une part...", "D'autre part...", "On en déduit que...". Pour l'équation-produit, citez explicitement la propriété : "Si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul". Enfin, encadrez vos résultats finaux et assurez-vous de répondre précisément à la question posée (ici, citer les deux nombres trouvés). Une copie claire et aérée est souvent synonyme de rigueur aux yeux du correcteur.