Introduction : Un exercice transversal entre Géométrie et Algorithmique

L'épreuve du Brevet des Collèges 2024 (Amérique du Nord) nous propose ici un exercice 5 particulièrement riche. Il combine deux piliers du programme de troisième : la géométrie plane (propriétés des triangles et théorème de Thalès) et l'algorithmique via Scratch. Cette transversalité est classique mais redoutable. L'élève doit non seulement mobiliser des connaissances théoriques sur les triangles équilatéraux, mais aussi interpréter un script pour comprendre comment une figure géométrique est générée par ordinateur. Nous allons décomposer chaque étape pour maîtriser ces deux mondes.

1. Analyse de la Partie A : La rigueur géométrique

La première question demande de démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral. Pour cela, l'énoncé nous donne deux indices visuels et textuels majeurs via le codage de la figure : les segments $[AC]$ et $[BC]$ portent le même symbole, ce qui indique que le triangle est isocèle en $C$. De plus, l'angle en $A$ ($\\widehat{BAC}$) est marqué à $60^\\circ$. Or, nous savons que dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. Donc $\\widehat{ABC} = 60^\\circ$. La somme des angles d'un triangle étant de $180^\\circ$, l'angle $\\widehat{ACB}$ vaut également $180 - (60 + 60) = 60^\\circ$. Un triangle ayant trois angles de $60^\\circ$ est nécessairement équilatéral.

La deuxième question porte sur le parallélisme des droites $(DE)$ et $(AB)$. Ici, la configuration fait immédiatement penser au théorème de Thalès ou à sa réciproque. Cependant, l'énoncé nous donne des longueurs spécifiques : $AB = 240$ mm et $CE = 80$ mm. On observe que les points $A, C, E$ et $B, C, D$ sont alignés. La figure suggère une réduction. Pour montrer que $(DE) // (AB)$, on peut utiliser les propriétés des triangles semblables ou la réciproque de Thalès si les rapports sont égaux. Attention : une lecture attentive de la figure codée montre que les angles alternes-internes ou correspondants pourraient aussi être utilisés si les triangles sont de même nature.

2. Analyse de la Partie B : La logique Scratch

La partie algorithmique nous plonge dans le fonctionnement d'un script de dessin. Le lutin commence par se positionner. La question 1 est directe : les coordonnées de départ sont lues à la ligne 2 : $x = -180$ et $y = -150$. C'est un point de repère essentiel sur la scène Scratch.

Pour la ligne 4, la valeur du 'côté' doit correspondre à la première longueur tracée. Comme le programme trace d'abord le grand triangle $ABC$ et que l'énoncé précise $AB = 240$ mm, la valeur à saisir est $240$. Le lien entre l'unité de mesure (mm) et le 'pas' de Scratch est ici de $1$ pour $1$.

La question du déplacement (D8 vers une autre case) demande une visualisation spatiale. En partant de D8 (coordonnées Scratch $(-180, -150)$), le lutin s'oriente à $90^\\circ$ (vers la droite) et trace un triangle. Après le premier triangle, il tourne de $60^\\circ$ et avance de $240$ pas. Ce mouvement le projette vers le haut de la grille. Il est crucial de comprendre que chaque case de la grille représente une unité de distance définie par l'échelle du dessin.

3. Les points clés de l'instruction 'côté / 3'

L'instruction de la ligne 8 est le cœur de la compréhension géométrique du script. On passe d'un triangle de côté $240$ mm à un triangle de côté $80$ mm. Le calcul $240 / 3 = 80$ montre que le deuxième triangle ($CDE$) est une réduction du premier ($ABC$) de rapport $1/3$. Cette instruction permet d'automatiser le changement d'échelle pour que le lutin dessine la petite partie de la figure après avoir complété la grande. C'est une application directe de la notion d'homothétie ou de réduction, thèmes centraux du cycle 4.

4. Les pièges classiques à éviter

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans la confusion entre l'angle de rotation de Scratch et l'angle intérieur du triangle. Pour tracer un triangle équilatéral (angles de $60^\\circ$), le lutin doit tourner de $120^\\circ$ ($180 - 60$), car il effectue une rotation extérieure. L'énoncé donne d'ailleurs cette valeur dans le bloc 'Triangle'. Un autre piège est l'oubli des unités : bien que $1$ pas $= 1$ mm, il faut rester vigilant lors des conversions éventuelles. Enfin, pour la question du parallélisme, assurez-vous de bien citer l'alignement des points dans le bon ordre avant d'appliquer vos rapports de longueurs.

5. Conseil de rédaction pour le jour de l'examen

Pour obtenir tous les points : 1. Citez explicitement les propriétés utilisées (somme des angles, définition d'un triangle équilatéral). 2. Pour Scratch, recopiez les valeurs exactes du script sans les transformer. 3. Pour l'explication du 'côté / 3', faites explicitement le lien numérique ($240/3 = 80$) et géométrique (réduction de la taille du triangle). Une réponse bien structurée avec 'On sait que', 'Or' et 'Donc' est la clé du succès au Brevet des Collèges.