Introduction aux notions géométriques du Brevet 2024

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2024 (Amérique du Sud), est un modèle du genre pour tester la polyvalence des élèves de 3ème. Il s'articule autour d'une situation concrète : l'aménagement d'un terrain en pente pour la construction d'une maison. Pour réussir ce type d'exercice, il est impératif de maîtriser trois compétences clés : le théorème de Pythagore, la trigonométrie dans le triangle rectangle et le calcul de volume d'un prisme droit. L'énoncé nous place face à une vue en coupe (géométrie plane) puis à une représentation en perspective (géométrie dans l'espace), demandant une gymnastique mentale entre la 2D et la 3D.

Analyse Méthodique : Question 1 - Le Théorème de Pythagore

La première question nous demande de justifier que la longueur $CB$ est égale à $16,8$ m. Nous sommes dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$. Pourquoi utiliser Pythagore ici ? Parce que nous connaissons la longueur de deux côtés : l'hypoténuse $[AB]$ qui mesure $17$ m et le côté opposé $[AC]$ qui mesure $2,6$ m. La rédaction doit être irréprochable : 'Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore, on a : $AB^2 = AC^2 + BC^2$'. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $17^2 = 2,6^2 + BC^2$, soit $289 = 6,76 + BC^2$. En isolant $BC^2$, nous arrivons à $BC^2 = 289 - 6,76 = 282,24$. La racine carrée de $282,24$ est bien $16,8$. Conseil pédagogique : N'oubliez jamais d'écrire l'égalité avec les lettres avant de passer aux chiffres.

Analyse Méthodique : Question 2 - La Trigonométrie

La deuxième question porte sur le coût des travaux, lié à l'angle d'inclinaison $\widehat{ABC}$. C'est ici que la trigonométrie intervient. Nous cherchons la mesure d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Nous connaissons le côté opposé $AC = 2,6$ m et l'hypoténuse $AB = 17$ m. Le rapport le plus direct est donc le sinus : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB}$. Le calcul donne $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{2,6}{17} \approx 0,1529$. En utilisant la touche 'arcsin' ou '2nd sin' de la calculatrice, on trouve $\widehat{ABC} \approx 8,79^\circ$. Puisque $8,79 > 8,5$, on conclut qu'il y aura effectivement un surcoût. L'astuce du professeur : Vérifiez toujours que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degré' et non 'Radian' ou 'Grade'.

Analyse Méthodique : Question 3 - Espace et Volumes

La dernière étape concerne le volume de terre à enlever, modélisé par un prisme droit. La formule rappelée dans l'énoncé est : $Volume = Aire\ de\ la\ base \times hauteur$. Ici, la base est le triangle rectangle $ABC$ calculé précédemment. L'aire de la base se calcule par $\frac{BC \times AC}{2}$, soit $\frac{16,8 \times 2,6}{2} = 21,84\ m^2$. La hauteur du prisme (la profondeur du terrain) est donnée par $AD = 30$ m. Le calcul final est donc $21,84 \times 30 = 655,2\ m^3$. Ce résultat représente une quantité de terre considérable, illustrant l'aspect pratique des mathématiques dans les métiers du bâtiment.

Les Pièges à Éviter

1. Confusion des côtés : Dans la question 1, ne confondez pas le côté recherché avec l'hypoténuse. Si vous additionnez les carrés au lieu de les soustraire, vous obtiendrez un résultat faux.
2. Unités : Assurez-vous que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici le mètre) avant de calculer le volume.
3. Arrondis : Ne donnez pas de valeurs trop arrondies lors des étapes intermédiaires de trigonométrie, cela pourrait fausser la comparaison finale avec le seuil de $8,5^\circ$.

Conseils pour la Rédaction au Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Encadrez vos résultats et citez explicitement les théorèmes utilisés. Une phrase de conclusion répondant précisément à la question posée (ex: 'Il y aura donc un surcoût pour ce terrain') est indispensable. Le correcteur évalue autant votre raisonnement que le résultat numérique final.