Introduction aux Probabilités du Brevet 2024

Le sujet de mathématiques du Brevet 2024 en Polynésie propose un exercice complet sur les probabilités et l'arithmétique. Cet exercice 4 est particulièrement intéressant car il combine la manipulation d'expériences aléatoires à deux et trois étapes avec la notion de produit et de multiples. Maîtriser ce type d'exercice est crucial pour les candidats au Diplôme National du Brevet (DNB) car les probabilités constituent un bloc de points souvent accessible si la méthode est rigoureuse.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'expérience consiste en deux tirages successifs avec remise (dans des boîtes différentes). La première étape pour réussir est de comprendre l'espace échantillonnal. Chaque tirage est indépendant, et le résultat final est le produit des deux nombres obtenus.

Question 1 : Construction du tableau à double entrée

Dans une expérience à deux étapes comme celle-ci, le tableau à double entrée est l'outil de prédilection. Il permet de visualiser sans erreur les $3 \times 2 = 6$ issues possibles. La première boîte contient les boules $\{2, 3, 5\}$ et la seconde $\{3, 5\}$. Le remplissage du tableau doit se faire avec soin :
- Ligne 5, Colonne 3 : $5 \times 3 = 15$
- Ligne 5, Colonne 5 : $5 \times 5 = 25$
- Ligne 2, Colonne 3 : $2 \times 3 = 6$
- Ligne 2, Colonne 5 : $2 \times 5 = 10$ (déjà donné)
- Ligne 3, Colonne 3 : $3 \times 3 = 9$
- Ligne 3, Colonne 5 : $3 \times 5 = 15$

Question 2 : Calcul de probabilité de l'événement "Obtenir 15"

Une fois le tableau complété, on applique la loi de Laplace : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. Ici, le nombre total d'issues est 6. En observant le tableau, on constate que le nombre $15$ apparaît deux fois (une fois via $5 \times 3$ et une fois via $3 \times 5$).
La probabilité est donc de $\frac{2}{6}$. Il est impératif de simplifier cette fraction pour obtenir $\frac{1}{3}$.

Question 3 : Analyse de l'affirmation sur les multiples de 3

L'affirmation prétend qu'il y a 2 chances sur 3 d'obtenir un multiple de 3. Vérifions les résultats obtenus dans le tableau : $15, 25, 6, 10, 9, 15$.
Les multiples de 3 présents sont : $15$ (deux fois), $6$ et $9$. Cela nous donne 4 issues favorables sur un total de 6.
La probabilité est $\frac{4}{6}$, ce qui se simplifie en $\frac{2}{3}$. L'affirmation est donc **Vraie**. Ce type de question demande une justification claire par le calcul et l'énumération des cas.

Question 4 : Décomposition en facteurs et logique inverse

Cette question introduit une troisième boîte. Anissa obtient $165$ et Bilel $78$. Pour trouver les boules de la troisième boîte, il faut décomposer ces nombres en produits de trois facteurs, sachant que les deux premiers facteurs proviennent obligatoirement des boîtes 1 et 2.

Pour Anissa ($165$) : $165$ est divisible par 5 ($165 = 5 \times 33$). $33$ est divisible par 3 ($33 = 3 \times 11$). On a donc $165 = 5 \times 3 \times 11$. Comme 5 peut venir de la boîte 1 et 3 de la boîte 2, le nombre **11** est forcément dans la boîte 3.

Pour Bilel ($78$) : $78$ est pair, $78 = 2 \times 39$. $39$ est dans la table de 3 ($39 = 3 \times 13$). On a donc $78 = 2 \times 3 \times 13$. Comme 2 peut venir de la boîte 1 et 3 de la boîte 2, le nombre **13** est dans la boîte 3.
Conclusion : Les boules de la troisième boîte portent les nombres 11 et 13.

Les Pièges à Éviter

1. **L'oubli de la simplification** : Une probabilité comme $\frac{4}{6}$ doit toujours être simplifiée en $\frac{2}{3}$ pour obtenir le maximum de points.
2. **Confondre Somme et Produit** : L'énoncé précise bien que l'on s'intéresse au *produit*. Ne faites pas l'erreur classique d'additionner les numéros.
3. **Négliger la rédaction** : Pour la question 4, il ne suffit pas de donner les chiffres. Il faut montrer la décomposition ou expliquer le raisonnement logique.

Conseils de Rédaction

Sur votre copie, commencez par définir clairement l'univers de l'expérience (le nombre total d'issues). Pour chaque probabilité, rappelez la formule de base. Pour les affirmations, répondez clairement par "Vrai" ou "Faux" après avoir exposé vos calculs. Pour la dernière question, utilisez des phrases de type : "Si le produit est 165, alors 165 doit être divisible par un nombre de la boîte 1 et un nombre de la boîte 2..." Cela démontre votre rigueur scientifique au correcteur.