Introduction aux notions de Géométrie et d'Algorithmique au Brevet

L'exercice 5 du sujet de Mathématiques Métropole 2024 est un classique incontournable du Diplôme National du Brevet (DNB). Il combine habilement la géométrie plane traditionnelle et l'algorithmique-programmation via l'interface Scratch. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'une figure géométrique concrète (ici un quadrilatère composé de triangles équilatéraux) à une suite d'instructions logiques. Les compétences mobilisées incluent la reconnaissance des propriétés des polygones réguliers, le calcul d'angles et la compréhension des boucles et des rotations dans un programme informatique.

Analyse Méthodique de la Partie Géométrie

La première partie de l'exercice porte sur la construction et la démonstration. Le quadrilatère $ABCD$ est formé par deux triangles équilatéraux, $ABC$ et $ACD$, ayant le côté $[AC]$ en commun.

1.1. Nature du quadrilatère ABCD

Pour déterminer la nature de $ABCD$, il faut se rappeler qu'un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur. Puisque $ABC$ est équilatéral avec un côté de $5$ cm, alors $AB = BC = CA = 5$ cm. De même, pour le triangle équilatéral $ADC$, on a $AD = DC = CA = 5$ cm. Par conséquent, les quatre côtés du quadrilatère $ABCD$ ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) mesurent tous $5$ cm. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur est un losange. Bien que les angles ne soient pas droits (ce qui exclurait le carré), la propriété de l'égalité des côtés suffit à caractériser le losange.

1.2. Calcul de l'angle BCD

Dans un triangle équilatéral, tous les angles intérieurs mesurent $60^\circ$. L'angle $\widehat{BCD}$ est la somme des angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{ACD}$. Puisque ces deux angles appartiennent chacun à un triangle équilatéral, nous avons $\widehat{BCA} = 60^\circ$ et $\widehat{ACD} = 60^\circ$. Ainsi, $\widehat{BCD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Cette démonstration rigoureuse est essentielle pour obtenir tous les points lors de l'examen.

Analyse du Programme Scratch : Le bloc Motif

La deuxième partie nous plonge dans l'algorithmique. On cherche à compléter le bloc "Motif" qui trace le losange $ABCD$.

2.1. Gestion de l'échelle et des distances

Le programme utilise une échelle où $10$ pas correspondent à $1$ cm. Le côté du losange étant de $5$ cm, la commande doit être avancer de 50 pas. La ligne 5 du programme Scratch, qui correspond au deuxième côté tracé dans la boucle, doit donc également être complétée par la valeur $50$.

2.2. Calcul de l'angle de rotation

C'est ici que réside le piège classique. Dans Scratch, le lutin tourne d'un certain angle extérieur pour changer de direction. Pour tracer un angle intérieur de $60^\circ$, le lutin doit effectuer une rotation de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (car il prolonge sa trajectoire initiale). Cependant, le programme propose une boucle répéter 2 fois avec deux rotations différentes. La première rotation est de $60^\circ$ (pour l'angle de $120^\circ$), donc la deuxième rotation (ligne 6) doit être de $120^\circ$ pour revenir vers l'angle de $60^\circ$. Le motif complet est ainsi fermé.

Identification des Figures et des Programmes

La dernière question demande d'associer trois programmes (A, B, C) à trois figures. C'est un exercice de visualisation spatiale.

• Figure 1 : On observe une répétition du motif par translation rectiligne. Le programme correspondant ne doit pas comporter de rotation entre les motifs, mais seulement une avance. C'est le Programme C (avancer de 25 pas sans tourner).
• Figure 2 : Les motifs partent tous du même point central, créant une forme d'étoile. Cela signifie qu'après chaque motif, le lutin revient au point de départ et tourne. C'est le Programme A (tourner de 72 degrés).
• Figure 3 : Les motifs sont disposés en cercle mais avec un espace vide au centre. Cela indique une rotation couplée à un déplacement. C'est le Programme B (tourner de 72 degrés ET avancer de 25 pas).

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre l'angle intérieur d'une figure et l'angle de rotation dans Scratch. Quand vous tournez de $60^\circ$, vous créez un angle intérieur de $120^\circ$. N'oubliez pas non plus de vérifier l'échelle : un oubli sur la conversion cm/pas est fatal. Enfin, pour la question sur la nature du quadrilatère, ne vous contentez pas de dire "c'est un losange", utilisez les propriétés des triangles équilatéraux pour le prouver par l'égalité des quatre côtés.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses. Utilisez des connecteurs logiques : "On sait que...", "Or...", "Donc...". Pour les questions de programmation, recopiez les lignes demandées en soulignant vos ajouts. Une copie propre avec des calculs d'angles détaillés montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le résultat, mais aussi le raisonnement mathématique sous-jacent.