Introduction aux Fonctions et au Calcul Littéral au Brevet 2024

Le sujet du Brevet de Mathématiques 2024 (Métropole) met à l'honneur une notion fondamentale du cycle 4 : les fonctions numériques. L'exercice 4 que nous analysons ici est un modèle de polyvalence pédagogique. Il combine habilement l'étude d'une fonction du second degré $f(x) = x^2 + 10x + 16$, l'utilisation d'un tableur pour automatiser des calculs, et le passage par le calcul littéral pour résoudre des équations complexes. L'objectif pour un élève de 3ème est de démontrer sa capacité à naviguer entre différents registres : graphique, numérique et algébrique. Les thèmes abordés ici sont les fonctions, le tableur, le calcul littéral et les équations.

Analyse de la Question 1 : Le calcul d'image par substitution

La première étape consiste à vérifier que l'image de 6 par la fonction $f$ est bien 112. C'est une question de 'mise en confiance' qui teste la rigueur opératoire. Pour calculer $f(6)$, l'élève doit substituer chaque occurrence de la variable $x$ par la valeur 6 dans l'expression $x^2 + 10x + 16$. Le calcul se décompose ainsi : $f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16$. En respectant les priorités opératoires (le carré avant l'addition), on obtient $36 + 60 + 16$, ce qui donne bien $112$. Cette question rappelle que l'image est le résultat de la fonction pour une valeur d'entrée donnée.

Analyse de la Question 2 : Interprétation et Logique du Tableur

La partie (a) sur le tableur est un grand classique des épreuves de mathématiques modernes. On demande d'identifier la formule saisie en cellule B2. Pourquoi la réponse est-elle =B1*B1+10*B1+16 ? Parce qu'un tableur fonctionne par références relatives. Pour calculer l'image du nombre situé en B1 (qui est -4), la formule doit appeler cette cellule. Les autres propositions sont erronées car elles utilisent des valeurs fixes ou des noms de colonnes incorrects (A1) ou des notations mathématiques non reconnues par le logiciel ($x$).
Dans la partie (b), la lecture directe du tableau permet d'identifier qu'un antécédent de 0 est -2. En effet, dans la ligne 2 (f(x)), la valeur 0 apparaît sous la colonne D, qui correspond à la valeur $x = -2$ en ligne 1.

Analyse de la Question 3 : Transition vers le Calcul Littéral

Ici, l'exercice prend une dimension plus abstraite mais essentielle. La question 3(a) demande de prouver une égalité : $f(x) = (x + 2)(x + 8)$. La méthode la plus simple pour un élève de 3ème est le développement de l'expression factorisée. En utilisant la double distributivité, on obtient : $x \times x + x \times 8 + 2 \times x + 2 \times 8$, soit $x^2 + 8x + 2x + 16$. Après réduction, on retrouve bien l'expression initiale $x^2 + 10x + 16$.
La question 3(b) exploite ce résultat pour trouver un autre antécédent de 0. Chercher un antécédent de 0 revient à résoudre l'équation $f(x) = 0$. Grâce à la forme factorisée, nous avons une équation-produit nul : $(x + 2)(x + 8) = 0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On a donc soit $x + 2 = 0$ (d'où $x = -2$, déjà trouvé), soit $x + 8 = 0$ (d'où $x = -8$). Le deuxième antécédent est donc -8.

Les Pièges Classiques à Éviter

Attention aux erreurs de signes lors de l'utilisation de nombres négatifs au carré ! Un nombre négatif élevé au carré est toujours positif : $(-4)^2 = 16$. Beaucoup d'élèves écrivent par erreur -16 sur leur calculatrice. Un autre piège concerne les formules du tableur : n'oubliez jamais le signe '=' au début de la saisie, sinon le logiciel considère le contenu comme du texte simple et non comme un calcul.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, ne vous contentez pas de donner le résultat. Pour la question 1, écrivez explicitement les étapes du calcul. Pour le tableur, justifiez votre choix en expliquant que la formule doit pouvoir être étirée. Pour l'équation-produit nul, citez la propriété : 'Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul'. Une rédaction claire et structurée montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi le raisonnement mathématique sous-jacent.