Introduction aux Programmes de Calculs et au Calcul Littéral

L'exercice 2 du Brevet de Mathématiques 2015 (Métropole) est un classique incontournable portant sur les programmes de calculs et le calcul littéral. Ces notions sont fondamentales au collège, car elles font le pont entre l'arithmétique (le calcul avec des nombres) et l'algèbre (le calcul avec des lettres). Maîtriser ce type d'exercice permet non seulement de valider des points précieux lors de l'examen national du Diplôme National du Brevet (DNB), mais aussi de poser les bases nécessaires pour la classe de Seconde. Un programme de calcul est une suite d'instructions mathématiques à appliquer à un nombre de départ. L'objectif est souvent de tester des valeurs particulières pour émettre une conjecture, puis de prouver cette conjecture en utilisant une variable, généralement notée \(x\).

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente quatre affirmations d'élèves (Sophie, Martin, Gabriel et Faïza). Pour déterminer qui a raison, nous devons tester le programme avec leurs valeurs respectives, puis généraliser.

1. Le cas de Sophie (Valeur positive)

Sophie affirme qu'en partant de 4, elle obtient 8. Appliquons les étapes du programme de calcul :
- Nombre de départ : 4
- Ajouter 8 : \(4 + 8 = 12\)
- Multiplier par 3 : \(12 \times 3 = 36\)
- Enlever 24 : \(36 - 24 = 12\)
- Enlever le nombre de départ : \(12 - 4 = 8\)
Conclusion : Sophie a raison. Le résultat final est bien 8.

2. Le cas de Martin (Valeur nulle)

Martin utilise 0. C'est une valeur stratégique car elle simplifie souvent les calculs :
- Nombre de départ : 0
- Ajouter 8 : \(0 + 8 = 8\)
- Multiplier par 3 : \(8 \times 3 = 24\)
- Enlever 24 : \(24 - 24 = 0\)
- Enlever le nombre de départ : \(0 - 0 = 0\)
Conclusion : Martin a raison. En partant de 0, on obtient bien 0.

3. Le cas de Gabriel (Valeur négative)

Attention, Gabriel travaille avec un nombre négatif : \(-3\). C'est ici que les erreurs de signes sont les plus fréquentes :
- Nombre de départ : \(-3\)
- Ajouter 8 : \(-3 + 8 = 5\)
- Multiplier par 3 : \(5 \times 3 = 15\)
- Enlever 24 : \(15 - 24 = -9\)
- Enlever le nombre de départ : \(-9 - (-3)\). Rappelez-vous que soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : \(-9 + 3 = -6\).
Conclusion : Gabriel a tort. Il prétendait obtenir \(-9\), mais le résultat est \(-6\).

4. Le cas de Faïza (La Généralisation)

Faïza affirme que le résultat est toujours le double du nombre de départ. Pour vérifier cela, on ne peut pas se contenter de tester des exemples ; il faut utiliser le calcul littéral. Soit \(x\) le nombre choisi :
- Choisir un nombre : \(x\)
- Ajouter 8 : \(x + 8\)
- Multiplier par 3 : \(3(x + 8)\). Ici, il faut utiliser la distributivité simple : \(3 \times x + 3 \times 8 = 3x + 24\).
- Enlever 24 : \(3x + 24 - 24 = 3x\)
- Enlever le nombre de départ : \(3x - x = 2x\).
L'expression finale est \(2x\), ce qui correspond bien au double du nombre de départ.
Conclusion : Faïza a raison pour n'importe quel nombre réel.

Les Pièges à Éviter

Le principal piège dans ce type d'exercice réside dans l'étape de multiplication. Lorsque vous multipliez "le résultat par 3", vous devez multiplier l'ensemble de l'expression précédente, ce qui nécessite l'usage de parenthèses : \(3 \times (x + 8)\). Une erreur commune est d'écrire \(3x + 8\), oubliant de distribuer le 3 sur le 8. Un autre point de vigilance concerne les nombres négatifs, comme illustré avec Gabriel. La règle des signes lors de la soustraction (\(- - = +\)) doit être parfaitement maîtrisée.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, structurez votre réponse clairement pour chaque élève. Présentez vos calculs en colonne ou ligne par ligne en précisant à quelle étape du programme ils correspondent. Pour Faïza, commencez explicitement par la phrase : "Soit \(x\) le nombre de départ". La preuve par le calcul littéral est le seul moyen de valider une affirmation universelle ("pour n'importe quel nombre"). N'oubliez pas de conclure par une phrase claire : "L'affirmation de [Nom] est donc vraie/fausse".