Introduction : L'arithmétique au service du sport

Dans cet exercice issu du Brevet 2024 (Etrangers), nous abordons deux piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : l'arithmétique et la prise d'initiatives. L'énoncé nous place dans une situation concrète de gestion du temps lors d'un entraînement sportif. L'objectif est de comprendre comment des cycles de durées différentes finissent par se synchroniser. Cette notion de périodicité est au cœur de nombreux problèmes de la vie courante et scientifique.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Modélisation du temps total d'un circuit

La première étape consiste à traduire les données de l'énoncé en calculs numériques. Pour le Circuit 1, l'entraîneur prévoit 5 exercices. Chaque bloc « exercice + repos » dure $40 + 16 = 56$ secondes. Puisque le circuit se termine en revenant au point de départ après le dernier exercice, on effectue 5 fois ce cycle. Le calcul est donc : $5 \times 56 = 280$ secondes.

Pour le Circuit 2, nous avons 10 exercices. Chaque bloc dure $30 + 5 = 35$ secondes. Le temps total est donc $10 \times 35 = 350$ secondes. Cette question permet de vérifier la bonne lecture des consignes et la capacité à modéliser un cycle fermé.

2. La Décomposition en Produits de Facteurs Premiers

Cette question est purement technique mais essentielle. Décomposer un nombre, c'est trouver sa « signature » unique à l'aide des nombres premiers ($2, 3, 5, 7, 11, ...$).

• Pour $280$ : On remarque qu'il se termine par 0, il est divisible par 10 ($2 \times 5$). $280 = 28 \times 10 = (4 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 7 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \times 7$.
• Pour $350$ : $350 = 35 \times 10 = (5 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7$.

Maîtriser cette méthode est crucial car elle simplifie énormément la recherche de diviseurs communs ou de multiples communs dans les questions suivantes.

3. Analyse de la synchronisation (Question 3a)

L'énoncé demande d'expliquer pourquoi Camille se retrouve au départ après $2800$ secondes. Ici, il faut utiliser la notion de divisibilité. On constate que $2800 = 280 \times 10$. Cela signifie que Camille a effectué exactement 10 tours complets. En mathématiques, on dit que $2800$ est un multiple de $280$, ou que le reste de la division euclidienne de $2800$ par $280$ est 0.

Pour Dominique sur le circuit 2, on effectue la division : $2800 / 350 = 8$. Puisque le résultat est un nombre entier, Dominique a effectué exactement 8 tours. Elle se trouve donc également au point de départ.

4. Recherche du premier croisement (PPCM) - Question 3b

C'est ici que la prise d'initiative intervient. On cherche le plus petit temps $T$ (supérieur à 0) qui soit à la fois un multiple de $280$ et de $350$. C'est la définition du PPCM (Plus Petit Commun Multiple).

Grâce aux décompositions de la question 2, on choisit chaque facteur premier présent dans l'une ou l'autre des décompositions avec son plus grand exposant : $2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1400$. Le temps nécessaire est donc de $1400$ secondes. Enfin, pour répondre précisément à la consigne, on convertit en minutes : $1400 = 23 \times 60 + 20$, soit 23 minutes et 20 secondes.

Les Pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice est d'oublier de compter le dernier temps de repos. Cependant, l'énoncé précise ici que le circuit « se termine en revenant à l'exercice 1 », ce qui implique que le dernier trajet/repos est inclus pour boucler la boucle. Attention également aux unités lors de la conversion finale : ne confondez pas $1400 / 60 = 23,33$ avec 23 minutes et 33 secondes ! Il faut bien utiliser le reste de la division euclidienne pour obtenir les secondes.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, soignez vos phrases d'introduction : « Effectuons la décomposition de 280 en produits de facteurs premiers... ». Pour la question 3b, explicitez votre démarche : « On cherche le plus petit multiple commun à 280 et 350 ». N'oubliez jamais l'unité ($s$ ou $min$) dans votre résultat final pour ne pas être sanctionné par le correcteur.