Introduction aux notions de l'exercice 4 - Brevet 2023 (Amsud)

Cet exercice issu de la session 2023 du Brevet des collèges (Amérique du Sud) est un modèle du genre pour réviser trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie dans l'espace (volumes), les grandeurs composées (masse volumique et proportionnalité) et les statistiques (gestion de données et moyennes). L'énoncé se concentre sur la fabrication de bougies parfumées, transformant des concepts abstraits en une situation concrète de production industrielle.

Analyse Méthodique : Géométrie et Volumes (Documents 1, 2 et 3)

La première partie de l'exercice demande de calculer le volume d'un cylindre de révolution. Le document 2 nous rappelle judicieusement les formules : l'aire de la base (un disque) multipliée par la hauteur. Le rayon $r$ étant de $3$ cm et la hauteur $h$ de $12$ cm, le calcul se pose ainsi : $V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi$. En utilisant la touche $\pi$ de la calculatrice, on obtient environ $339,29$ cm³, ce qui permet de valider la réponse suggérée de $339$ cm³.

Ensuite, l'exercice introduit une notion de proportionnalité avec le mélange cire/parfum. On nous indique que la cire occupe $\frac{9}{10}$ du volume total. Pour trouver la masse, il faut d'abord calculer ce volume partiel : $339 \times 0,9 = 305,1$ cm³. C'est ici qu'intervient la grandeur composée : la masse volumique. Puisque $1$ cm³ de cire pèse $0,7$ g, nous multiplions le volume obtenu par cette densité : $305,1 \times 0,7 = 213,57$ g. L'arrondi au gramme près est crucial pour obtenir les points, soit $214$ g.

Interprétation du Diagramme Circulaire et Pourcentages

La deuxième question évalue votre capacité à lire et interpréter des données statistiques représentées graphiquement. Le diagramme circulaire est l'outil de prédilection pour visualiser des répartitions en pourcentages. Nous savons que les bougies au miel représentent $22\%$. L'observation du codage est alors déterminante : on repère un angle droit (symbole du carré) pour les bougies à la vanille. Un angle droit dans un cercle représente un quart de la surface totale, soit $25\%$.

Pour trouver le pourcentage de bougies à la lavande, il faut procéder par déduction. Le secteur 'Miel' est de $22\%$, le secteur 'Vanille' est de $25\%$. Le graphique montre également une symétrie ou des codages d'arcs identiques pour d'autres secteurs. En sommant les parts connues et en les soustrayant au total ($100\%$), l'élève doit justifier la mesure de l'angle ou la proportion relative pour conclure sur le pourcentage exact de lavande. C'est un excellent exercice pour lier géométrie (angles) et gestion de données.

Objectif de Production : Le Calcul de la Moyenne Pondérée

La dernière question porte sur la notion d'objectif de moyenne. C'est une situation classique où l'on connaît la moyenne visée sur trois mois ($\np{7900}$ bougies) et les valeurs des deux premiers mois ($\np{6500}$ et $\np{8000}$). L'enjeu est de modéliser le problème par une équation simple : $\frac{\np{6500} + \np{8000} + x}{3} = \np{7900}$.

Pour résoudre cette équation, on multiplie d'abord la moyenne par le nombre de mois pour obtenir le total de production nécessaire : $\np{7900} \times 3 = \np{23700}$. Ensuite, on soustrait la production déjà effectuée : $\np{23700} - (\np{6500} + \np{8000}) = \np{23700} - \np{14500} = \np{9200}$. L'usine doit donc produire $\np{9200}$ bougies en mars. Ce type de raisonnement 'à l'envers' est fréquent au Brevet et nécessite une bonne compréhension de la structure d'une moyenne arithmétique.

Les Pièges à Éviter pour l'Examen

1. L'oubli des unités : Dans la question 1, donner un résultat sans 'cm³' ou 'g' est pénalisant. Vérifiez toujours la cohérence de vos unités.
2. Les arrondis prématurés : Ne jamais arrondir les résultats intermédiaires (comme le volume de cire) avant le calcul final de la masse pour éviter de cumuler les erreurs de précision.
3. Confusion entre rayon et diamètre : L'énoncé donne le rayon ($3$ cm), mais soyez vigilants, certains sujets donnent le diamètre.
4. Lecture du diagramme : Ne vous fiez pas seulement à l'œil nu ; cherchez les codages (angles droits, segments égaux) qui sont les seules preuves mathématiques valables.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, chaque calcul doit être précédé d'une phrase d'introduction. Par exemple : 'Calculons d'abord le volume total de la bougie'. Citez toujours les formules utilisées ($V = \text{Aire de la base} \times h$). Pour la question de la moyenne, montrez clairement votre étape de calcul du total cumulé ($\text{Moyenne} \times \text{Effectif total}$). Une copie propre, où les résultats finaux sont soulignés et les étapes logiques bien espacées, facilite le travail du correcteur et valorise votre raisonnement, même en cas d'erreur de calcul mineure.