Introduction aux notions de Géométrie et Grandeurs

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2023 en Nouvelle-Calédonie est un cas d'école particulièrement riche pour les élèves de 3ème. Il combine habilement la géométrie plane (théorème de Thalès) et la gestion des grandeurs composées (vitesses moyennes et durées). Le contexte, inspiré de la randonnée des 'roches de la Ouaïème', permet d'illustrer concrètement comment les mathématiques s'appliquent à des situations réelles de topographie et de planification d'effort physique.

Analyse Méthodique : La Modélisation Géométrique

La première partie de l'exercice demande une lecture attentive du schéma. Le parcours est modélisé par un triangle rectangle $DMV$ dans lequel s'insère un segment $[PN]$. L'énoncé précise que la pente est rectiligne, ce qui nous autorise à travailler dans un plan euclidien classique.

Justification du Parallélisme (Question 1)

Pour justifier que les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont parallèles, il faut mobiliser ses connaissances sur les propriétés des droites dans le plan. Le schéma indique que $(PN) \perp (DM)$ et $(VM) \perp (DM)$ (symbolisé par les angles droits aux points $N$ et $M$). Or, une propriété fondamentale du cours de géométrie énonce que : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles'. C'est une étape cruciale qui conditionne l'utilisation du théorème de Thalès par la suite.

Calcul d'Altitude avec le Théorème de Thalès (Question 2)

Une fois le parallélisme établi, nous sommes dans la configuration optimale pour appliquer le théorème de Thalès dans le triangle $DMV$. Les points $D, N, M$ sont alignés ainsi que les points $D, P, V$. Puisque $(PN) \parallel (VM)$, nous pouvons écrire l'égalité des rapports : $\frac{DP}{DV} = \frac{DN}{DM} = \frac{PN}{VM}$.

En utilisant les valeurs connues : $DP = 3$ km, $DV = 3,8$ km et $VM = 0,741$ km, on isole l'inconnue $PN$ (l'altitude au panneau) : $PN = \frac{DP \times VM}{DV} = \frac{3 \times 0,741}{3,8}$. Le calcul nous donne $PN = 0,585$ km, soit 585 mètres d'altitude. La rigueur dans la présentation des rapports est la clé pour obtenir l'intégralité des points.

Vitesse Moyenne et Conversion de Temps (Question 3)

La question de la vitesse moyenne sur le trajet $[DP]$ fait appel à la formule $v = \frac{d}{t}$. Ici, Fabienne parcourt $d = 3$ km en $t = 2$ heures. Le calcul est direct : $v = \frac{3}{2} = 1,5$ km/h. Il est important de bien préciser l'unité demandée (km/h) et de vérifier la cohérence du résultat avec la difficulté du terrain (une randonnée en montagne à 1,5 km/h est tout à fait réaliste).

Analyse de la Durée Totale (Question 4)

Cette dernière partie est la plus complexe car elle nécessite plusieurs étapes de calcul. Fabienne a déjà marché 2 heures. Il lui reste à parcourir la distance $PV = DV - DP = 3,8 - 3 = 0,8$ km. Sa vitesse sur ce tronçon est de $1,2$ km/h. On cherche la durée $t'$ correspondante : $t' = \frac{d}{v} = \frac{0,8}{1,2} = \frac{2}{3}$ d'heure.

Pour comparer avec l'estimation de 2 h 30 min, il faut convertir ces $\frac{2}{3}$ d'heure en minutes : $\frac{2}{3} \times 60 = 40$ minutes. La durée totale du trajet de Fabienne est donc de $2\text{h} + 40\text{min} = 2\text{h} 40\text{min}$. En comparant ce résultat à l'estimation de 2 h 30 min, on conclut que Fabienne a dépassé la durée estimée de 10 minutes.

Les Pièges Classiques à éviter

1. Les unités de temps : L'erreur la plus fréquente consiste à confondre l'écriture décimale du temps avec les minutes (croire que 2,30 h est égal à 2 h 30 min alors que 2,5 h = 2 h 30 min).
2. Le choix des rapports de Thalès : Assurez-vous de ne pas inverser le numérateur et le dénominateur lors de la mise en place de l'égalité.
3. La rédaction : Oublier de citer les conditions d'application des théorèmes (alignement des points et parallélisme) est souvent sanctionné par les correcteurs.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, structurez votre réponse en trois temps : 'Données', 'Propriété', 'Conclusion'. Par exemple, pour Thalès, listez les points alignés et les droites parallèles avant de poser l'égalité. Pour les calculs de durée, montrez explicitement vos conversions de fractions d'heure en minutes en multipliant par 60. Une copie aérée avec des résultats encadrés est toujours mieux valorisée par le professeur correcteur.