Introduction aux notions clés du Brevet 2023

Cet exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet 2023 (Étrangers) se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Il balaye un spectre large du programme de 3ème : l'algorithmique avec Scratch, le calcul numérique (fractions et priorités opératoires), les puissances (écriture scientifique) et les statistiques (médiane). Bien que ce soit un QCM sans justification demandée, la réussite repose sur une maîtrise rigoureuse des concepts théoriques.

Analyse détaillée de la Partie A : Algorithmique et Scratch

La première partie évalue votre compréhension de la boucle et de la géométrie tortue.

1. L'angle de rotation pour un triangle équilatéral

Dans le bloc triangle équilatéral, on répète 3 fois un mouvement et une rotation. L'erreur classique est de choisir $60\degres{}$, car c'est la valeur des angles intérieurs du triangle. Or, Scratch utilise l'angle de rotation externe. Pour fermer un polygone régulier de $n$ côtés, la somme des rotations doit être de $360\degres{}$. Pour un triangle ($n=3$), on calcule $360 \div 3 = 120$. La réponse exacte est donc 120° (Réponse C).

2. Compréhension du script principal

Le script principal positionne le stylo, dessine un premier triangle, puis tourne de $60\degres{}$ avant de dessiner un second triangle. Puisque les triangles sont équilatéraux (angles de $60\degres{}$), une rotation de $60\degres{}$ signifie que le deuxième triangle aura un côté commun avec le premier ou sera parfaitement décalé selon le sommet. En observant les figures, la Réponse C correspond à deux triangles partageant un sommet avec un décalage angulaire cohérent.

3. Passage à la répétition multiple

Si l'on remplace la boucle par une répétition de 6 fois, avec une rotation de $60\degres{}$ entre chaque triangle, on effectue un tour complet ($6 \times 60 = 360$). Les pointes des triangles vont dessiner une forme régulière. Dans ce contexte, l'agencement de ces six triangles équilatéraux autour d'un point central forme un hexagone (Réponse B) régulier par ses contours extérieurs.

Analyse détaillée de la Partie B : Calculs et Statistiques

Cette partie demande une grande vigilance sur les règles de calcul fondamentales.

1. Priorités opératoires et fractions

L'expression est : $\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{7}{5}\right) \div \frac{4}{3}$.
La priorité est donnée à la multiplication à l'intérieur des parenthèses : $\frac{1}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{7}{15}$.
On soustrait ensuite : $\frac{2}{3} - \frac{7}{15} = \frac{10}{15} - \frac{7}{15} = \frac{3}{15}$.
Enfin, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{3}{15} \times \frac{3}{4}$. La Réponse C est la bonne.

2. L'écriture scientifique

L'écriture scientifique doit être de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$.
On part de $302,4 \times 10^{18}$.
On transforme $302,4$ en $3,024 \times 10^2$.
En appliquant les règles des puissances ($10^2 \times 10^{18} = 10^{2+18}$), on obtient $3,024 \times 10^{20}$. C'est la Réponse B.

3. La robustesse de la médiane

La série de 8 masses, ordonnée, est : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18.
La médiane d'une série de 8 valeurs se situe entre la 4ème et la 5ème valeur (ici 12).
Si l'on modifie la valeur 18 en 16, la série reste : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16.
Les 4ème et 5ème valeurs restent inchangées (12 et 12). La médiane reste donc la même (Réponse B). C'est une propriété fondamentale de la médiane : elle est peu sensible aux valeurs extrêmes (contrairement à la moyenne).

Les pièges à éviter lors du Brevet

En Scratch : Ne confondez jamais l'angle tracé sur le papier (angle interne) et l'angle que doit parcourir le lutin (angle externe). Dessinez toujours un petit schéma pour visualiser le chemin parcouru par le curseur.
En calcul : L'erreur la plus fréquente sur les fractions est d'oublier la priorité de la multiplication ou de ne pas inverser la deuxième fraction lors d'une division.
En statistiques : Attention à bien ranger la série dans l'ordre croissant avant de chercher la médiane !

Conseils de rédaction pour le jour J

Même si aucune justification n'est attendue dans un QCM, il est fortement conseillé d'effectuer vos calculs proprement au brouillon. Pour la Partie B question 1, écrivez chaque étape. Pour la question sur la médiane, listez les deux séries côte à côte. En cas de doute, procédez par élimination : souvent, deux réponses sur trois sont manifestement fausses à cause d'une erreur de signe ou d'une confusion d'unité.