Introduction aux notions du Brevet 2023

Cet exercice, issu de la session 2023 du Brevet de Mathématiques (Métropole), est un modèle de synthèse pour la géométrie plane en classe de 3ème. Il sollicite trois compétences fondamentales que tout élève doit maîtriser pour obtenir une mention : le calcul d'aires géométriques, l'application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle et l'utilisation des propriétés de parallélisme associées au théorème de Thalès. L'énoncé nous place dans une configuration complexe mêlant un rectangle (BCDE) et des triangles imbriqués, exigeant une lecture attentive de la figure et des données numériques fournies : $AB = BC = 4,2 \text{ cm}$ et $EB = EF = 7 \text{ cm}$.

Analyse Méthodique : Calcul d'aires et de longueurs

La première question demande de montrer que l'aire du rectangle BCDE est de $29,4 \text{ cm}^2$. Pour rappel, l'aire d'un rectangle se calcule par le produit de sa longueur par sa largeur ($\text{Aire} = L \times l$). Ici, nous connaissons $BC = 4,2 \text{ cm}$ et $EB = 7 \text{ cm}$. Puisque BCDE est un rectangle, $EB$ est la longueur et $BC$ la largeur. Le calcul est direct : $7 \times 4,2 = 29,4$. N'oubliez jamais de préciser l'unité en $\text{cm}^2$.

Dans la question 2a, nous entrons dans le vif du sujet avec le théorème de Pythagore. Le triangle ABE est rectangle en A. L'hypoténuse est le côté [EB], car il est opposé à l'angle droit. Selon l'égalité de Pythagore : $AB^2 + AE^2 = EB^2$. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient $4,2^2 + AE^2 = 7^2$. Soit $17,64 + AE^2 = 49$. En isolant $AE^2$, on calcule $49 - 17,64 = 31,36$. La racine carrée de $31,36$ est exactement $5,6$. La rédaction doit être impeccable : 'Dans le triangle ABE rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore...'.

Raisonnement Avancé : Parallélisme et Thalès

La question 3 introduit une difficulté supplémentaire : la démonstration du parallélisme. Pour montrer que (ED) et (HA) sont parallèles, on utilise une propriété de 6ème souvent oubliée : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles'. Ici, (ED) est perpendiculaire à (CD) car BCDE est un rectangle. L'énoncé précise également que (AH) est perpendiculaire à (CD). Par conséquent, (ED) // (AH). C'est un point clé pour la suite.

Enfin, pour calculer AH, nous utilisons le théorème de Thalès dans le triangle AFH (ou la configuration papillon/triangle imbriqué). Puisque (ED) // (AH) et que les points F, E, A d'une part, et F, D, H d'autre part, sont alignés, nous pouvons écrire les rapports : $FE/FA = FD/FH = ED/AH$. Nous connaissons $FE = 7 \text{ cm}$, $AE = 5,6 \text{ cm}$ (donc $FA = FE + EA = 7 + 5,6 = 12,6 \text{ cm}$) et $ED = BC = 4,2 \text{ cm}$. Le rapport $7 / 12,6 = 4,2 / AH$ nous permet d'effectuer un produit en croix : $AH = (4,2 \times 12,6) / 7 = 7,56 \text{ cm}$.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'inversion des côtés dans Pythagore. Identifiez toujours l'hypoténuse avant de commencer. Le second piège concerne les unités : assurez-vous que toutes les longueurs sont dans la même unité avant de multiplier. Enfin, pour Thalès, l'erreur classique est de se tromper dans l'ordre des rapports. Partez toujours du sommet commun (ici F) pour construire vos fractions : petit côté sur grand côté.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, soignez vos connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'Donc'. Chaque propriété utilisée doit être citée explicitement. Par exemple, ne dites pas juste 'Pythagore', mais 'D'après le théorème de Pythagore'. Encadrez vos résultats finaux et vérifiez la cohérence de vos valeurs : une hypoténuse doit toujours être le côté le plus long du triangle !