Introduction : Un condensé de géométrie plane au Brevet

L'exercice 1 du sujet du Brevet Mathématiques 2023 de la zone Amérique du Sud est une pièce maîtresse pour tout élève de 3ème. Il regroupe les notions fondamentales de géométrie plane attendues en fin de cycle 4. À travers cette étude de deux triangles imbriqués, l'élève doit mobiliser le théorème de Pythagore, la trigonométrie, les propriétés des triangles semblables et la gestion des échelles (agrandissement-réduction). Maîtriser ce type d'exercice, c'est s'assurer une base solide de points sur la partie géométrique de l'épreuve.

Analyse Question 1 : Démontrer qu'un triangle est rectangle

La première étape consiste à démontrer que le triangle $EFG$ est rectangle en $F$. Pour cela, nous disposons des trois longueurs : $EF = 18$ cm, $FG = 24$ cm et $EG = 30$ cm. La méthode incontournable est l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore. Le côté le plus long est $[EG]$. Nous calculons séparément : d'une part $EG^2 = 30^2 = 900$, et d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés $EF^2 + FG^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$. Puisque $EG^2 = EF^2 + FG^2$, l'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle $EFG$ est rectangle en $F$. Conseil du professeur : Veillez à bien séparer les calculs pour ne pas faire de pétition de principe dans votre démonstration.

Analyse Question 2 : Maîtriser la trigonométrie

Une fois le triangle rectangle identifié, nous pouvons appliquer les formules de trigonométrie pour calculer l'angle $\widehat{EGF}$. Nous connaissons le côté opposé ($EF=18$) et l'hypoténuse ($EG=30$), ou le côté adjacent ($FG=24$). Utilisons par exemple le cosinus : $\cos(\widehat{EGF}) = \frac{FG}{EG} = \frac{24}{30} = 0,8$. À l'aide de la calculatrice, on obtient $\text{arccos}(0,8) \approx 36,869^\circ$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, donc $\widehat{EGF} \approx 37^\circ$. Piège fréquent : Assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degrés' et non 'Radians' ou 'Grades'.

Analyse Question 3 : Les triangles semblables

Pour montrer que les triangles $EGF$ et $LGH$ sont semblables, il faut examiner leurs angles. L'énoncé nous donne déjà une égalité d'angles : $\widehat{EGF} = \widehat{LGH}$. De plus, nous savons que le triangle $EFG$ est rectangle en $F$, donc $\widehat{EFG} = 90^\circ$. La figure et l'énoncé indiquent que $(LH)$ est perpendiculaire à $(FH)$, ce qui signifie que l'angle $\widehat{LHG}$ est également un angle droit ($90^\circ$). Deux triangles ayant au moins deux angles de même mesure sont semblables. C'est une propriété fondamentale qui permet de déduire que leurs côtés sont proportionnels. Ici, l'homothétie qui lie ces triangles est centrale pour la suite de l'exercice.

Analyse Question 4 : Coefficient d'agrandissement

Pour passer du triangle $EFG$ au triangle $LHG$, nous cherchons le coefficient $k$ tel que $L' = k \times L$. Les côtés homologues (correspondants) sont ici $[FG]$ et $[GH]$, car ils sont tous deux adjacents aux angles égaux donnés au départ. Nous avons $FG = 24$ cm et $GH = 38,4$ cm. Le coefficient d'agrandissement est donc $k = \frac{GH}{FG} = \frac{38,4}{24} = 1,6$. Parmi les propositions fournies (0,625 ; 1,28 ; 1,6 ; 2,6), la bonne réponse est donc 1,6. Conseil de rédaction : Expliquez clairement que vous divisez la longueur d'arrivée par la longueur de départ correspondante pour justifier votre choix.

Analyse Question 5 : Périmètre et rapport de linéarité

Pour calculer le périmètre du triangle $LGH$, deux méthodes s'offrent à vous. La première consiste à calculer chaque côté de $LGH$ en multipliant les côtés de $EFG$ par $1,6$ ($LH = 18 \times 1,6$ et $LG = 30 \times 1,6$), puis à faire la somme. La seconde méthode, plus élégante, utilise les propriétés des figures semblables : le périmètre d'une figure agrandie est égal au périmètre de la figure initiale multiplié par le coefficient $k$. Le périmètre de $EFG$ est $P_{EFG} = 18 + 24 + 30 = 72$ cm. Le périmètre de $LGH$ est donc $P_{LGH} = 72 \times 1,6 = 115,2$ cm. N'oubliez pas l'unité dans votre réponse finale.

Conclusion et points clés pour la rédaction

Cet exercice balaye l'essentiel du programme. Pour maximiser vos points, soignez la présentation : citez précisément les théorèmes utilisés (Réciproque de Pythagore), explicitez vos calculs trigonométriques et justifiez l'usage du coefficient d'agrandissement. La géométrie au Brevet n'est pas seulement une affaire de calcul, c'est avant tout une démonstration logique où chaque étape doit être rigoureusement liée à l'énoncé ou à une propriété connue.