Introduction aux notions clés du Brevet 2023

Cet exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet (DNB) 2023 pour la zone Métropole est un classique incontournable. Il mobilise des compétences fondamentales du cycle 4 : la manipulation de programmes de calcul, le passage du langage naturel au calcul littéral, l'étude de fonctions affines et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif est de vérifier si l'élève est capable de faire le lien entre un processus algorithmique simple, sa traduction algébrique sous forme de fonction, et sa représentation graphique dans un repère orthogonal. Maîtriser ces concepts est essentiel car ils représentent souvent une part importante des points lors de l'épreuve finale.

Analyse méthodologique de l'exercice

L'exercice commence par une phase d'appropriation avec des calculs numériques simples. Dans la question 1.a., on nous demande de tester le Programme A avec le nombre $-3$. La démarche doit être rigoureuse : d'abord la multiplication $(-3) \times (-2) = 6$, puis l'addition $6 + 5 = 11$. Il est crucial de bien gérer la règle des signes (le produit de deux nombres négatifs est positif). Pour la question 1.b., le Programme B appliqué à $5,5$ nécessite de respecter les priorités opératoires : $(5,5 - 5) \times 3 + 11 = 0,5 \times 3 + 11 = 1,5 + 11 = 12,5$. Ces étapes permettent de s'assurer que l'élève a compris la structure logique des programmes avant de passer à l'abstraction littérale.

Du programme de calcul à l'expression algébrique

La question 2 marque le passage au calcul littéral. En désignant $x$ comme nombre de départ, transformer le Programme B en expression mathématique est un exercice de traduction. 'Soustraire 5' devient $(x - 5)$, 'multiplier le résultat par 3' devient $3(x - 5)$, et 'ajouter 11' donne $3(x - 5) + 11$. Le développement de cette expression est une étape clé : $3x - 15 + 11$, ce qui se simplifie en $3x - 4$. Cette compétence de réduction d'expression est fondamentale pour la suite du programme de troisième et l'entrée au lycée. Elle permet de démontrer que deux processus apparemment différents peuvent être modélisés par une fonction affine de la forme $ax + b$.

Interprétation graphique et lien avec les fonctions

La question 3 introduit les fonctions $f(x) = -2x + 5$ et $g(x) = 3x - 4$. Ici, l'élève doit faire preuve de sens critique pour associer les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ aux fonctions. Une analyse du coefficient directeur est la méthode la plus élégante : la fonction $f$ possède un coefficient $-2$ (négatif), sa représentation graphique est donc une droite qui 'descend' (décroissante), ce qui correspond à $(D_2)$. À l'inverse, $g$ a un coefficient $3$ (positif), elle 'monte' (croissante), correspondant à $(D_1)$. On peut aussi utiliser l'ordonnée à l'origine : $f(0) = 5$, la droite $(D_2)$ coupe l'axe des ordonnées en $5$. $g(0) = -4$, la droite $(D_1)$ coupe l'axe des ordonnées en $-4$. La lecture graphique pour trouver l'antécédent commun (question 3.b) demande de l'observation : les deux droites se croisent en un point dont l'abscisse semble être proche de $1,8$.

Résolution d'équation pour une précision parfaite

La dernière question demande de quitter l'approximation graphique pour la rigueur du calcul. Pour trouver quand les deux programmes donnent le même résultat, on pose l'équation $f(x) = g(x)$, soit $-2x + 5 = 3x - 4$. La résolution se fait en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre : $5 + 4 = 3x + 2x$, d'où $9 = 5x$. On en déduit $x = 9/5 = 1,8$. On constate que le résultat exact corrobore la lecture graphique précédente. Cette étape de vérification est excellente pour gagner en confiance lors de l'examen.

Les pièges classiques à éviter

Plusieurs erreurs récurrentes sont observées sur ce type d'exercice. Premièrement, l'oubli des parenthèses lors de la traduction littérale (écrire $x - 5 \times 3$ au lieu de $(x - 5) \times 3$). Deuxièmement, les erreurs de signes lors du développement ou du transfert de termes dans une équation. Enfin, dans l'analyse graphique, la confusion entre l'axe des abscisses (antécédents) et l'axe des ordonnées (images). Il est conseillé de toujours vérifier ses calculs numériques par une lecture graphique rapide pour s'assurer de la cohérence globale de ses réponses.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le résultat final. Énoncez clairement vos étapes. Par exemple, pour la question 4, écrivez : 'Chercher le nombre de départ pour lequel les résultats sont identiques revient à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$'. Utilisez le vocabulaire précis : 'coefficient directeur', 'ordonnée à l'origine', 'développement', 'réduction'. Une copie bien structurée avec des phrases de conclusion pour chaque question plaît particulièrement aux correcteurs du Brevet. N'oubliez pas de tracer les pointillés sur le graphique pour justifier votre lecture à la question 3.b., cela montre votre méthode de travail.