Introduction aux notions clés du Brevet 2023

Cet exercice, issu du sujet de Polynésie 2023, est un modèle du genre pour les élèves de 3ème. Il combine avec brio plusieurs piliers du programme de mathématiques : le calcul littéral via les programmes de calcul, l'étude de fonctions (quadratiques et linéaires), l'interprétation graphique et l'usage du tableur. Comprendre l'interaction entre une expression algébrique, sa représentation graphique et un tableau de valeurs est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques. Dans cette analyse, nous allons décortiquer chaque étape pour transformer ce défi en une opportunité de points faciles.

Analyse de la Partie 1 : Programme de calcul et Équation-produit

La première question nous plonge dans l'univers des programmes de calcul. L'énoncé demande de vérifier que si l'on part de $-8$, on obtient $60$. Méthodologiquement, il faut suivre le schéma : ajouter $3$ à $-8$ donne $-5$, soustraire $4$ à $-8$ donne $-12$. Le produit de ces deux résultats, $(-5) \times (-12)$, donne bien $60$. C'est une excellente mise en jambe pour valider la compréhension des nombres relatifs.

Ensuite, on nous demande de résoudre l'équation $(x + 3)(x - 4) = 0$. C'est ici qu'intervient la règle de la propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul. On pose alors deux équations simples : $x + 3 = 0$ ou $x - 4 = 0$. On en déduit que les nombres de départ à choisir pour obtenir un résultat nul sont $-3$ et $4$. Sur une copie de brevet, n'oubliez jamais de citer la propriété du produit nul pour justifier votre raisonnement.

Analyse de la Partie 2 : Étude de la fonction f et Graphique

La fonction $f$ est définie par $f(x) = (x + 3)(x - 4)$. On nous demande de démontrer que $f(x) = x^2 - x - 12$. Pour cela, on utilise la double distributivité : $x \times x + x \times (-4) + 3 \times x + 3 \times (-4) = x^2 - 4x + 3x - 12$. En simplifiant, on retrouve bien l'expression développée. Cette étape est cruciale car elle lie la forme factorisée à la forme développée d'une fonction du second degré.

Le calcul de l'image de $1/2$ demande de la rigueur avec les fractions. On remplace $x$ par $0,5$ ou $1/2$ dans l'expression : $f(0,5) = (0,5)^2 - 0,5 - 12 = 0,25 - 0,5 - 12 = -12,25$. Savoir passer d'une écriture décimale à une écriture fractionnaire est une compétence souvent testée. Graphiquement, la lecture des antécédents de $-6$ consiste à tracer une droite horizontale à $y = -6$ et à repérer les abscisses des points d'intersection avec la courbe $\mathcal{C}_f$. Visuellement, on observe que la courbe coupe cette droite en deux points distincts.

Analyse de la Partie 3 : Fonction linéaire g et Tableur

La fonction $g$ définie par $g(x) = 3x - 7$ est une fonction affine. La question sur le tableur est un classique. Dans la cellule B2, on veut calculer l'image de la valeur située en A2 par la fonction $g$. La formule à saisir est donc =3*A2-7. Attention, le signe égal est impératif pour que le logiciel reconnaisse une opération. L'étirement vers le bas permet d'automatiser le calcul pour toutes les valeurs de $x$ de $-5$ à $6$.

Pour tracer la représentation graphique de $g$, il suffit de placer deux points issus du tableau de valeurs (par exemple $(0 ; -7)$ et $(4 ; 5)$) et de les relier à la règle, car la représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Enfin, pour trouver les nombres ayant la même image par $f$ et $g$, il faut identifier les points d'intersection des deux courbes. Algébriquement, cela reviendrait à résoudre $f(x) = g(x)$, mais ici, la lecture graphique est privilégiée pour gagner du temps lors de l'examen.

Les Pièges à Éviter

1. Les signes : Dans le calcul de $(-5) \times (-12)$, l'erreur la plus commune est d'oublier que le produit de deux nombres négatifs est positif.
2. Le vocabulaire : Ne confondez pas image (ordonnée $y$) et antécédent (abscisse $x$).
3. Le tableur : Dans la formule, n'utilisez pas $x$ mais bien la référence de la cellule (A2).
4. La précision graphique : Utilisez un crayon bien taillé. Un décalage d'un millimètre peut fausser vos résultats d'antécédents.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour chaque calcul, écrivez la formule utilisée avant de passer aux valeurs numériques. Pour les lectures graphiques, laissez les pointillés (traits de construction) apparents sur votre graphique : c'est souvent une condition pour obtenir la totalité des points de la question. En mathématiques, le correcteur évalue autant votre raisonnement que la justesse de votre résultat final. Soyez explicite dans vos phrases de conclusion.