Introduction à l'Algorithmique au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2023 (Métropole) porte sur une thématique devenue centrale dans le programme de 3ème : l'algorithmique et la programmation avec Scratch. Ce domaine évalue non seulement la capacité de l'élève à lire un code, mais aussi sa compréhension des propriétés géométriques fondamentales à travers le prisme de la logique informatique. Ici, nous traitons du tracé d'un losange et de la gestion des déplacements dans un repère, tout en abordant les transformations géométriques (rotations).

Analyse Question 1 : Construire un Losange avec Scratch

La première question demande de compléter un script de définition de bloc appelé losange. Pour tracer un losange de côté $50$ pas, il faut comprendre la structure de la boucle. Un losange est un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur, mais ses angles ne sont pas tous égaux (contrairement au carré). Le script proposé utilise une boucle répéter qui englobe deux segments de tracé.

Raisonnement : Si on avance de $50$ pas et que l'on tourne de $60^\circ$, puis qu'on avance à nouveau et que l'on tourne de $120^\circ$, on a dessiné deux côtés consécutifs du losange. Pour fermer la figure, il faut répéter cette séquence $2$ fois (car $2 \times 2 = 4$ côtés). La ligne 3 doit donc être complétée par la valeur $2$. Pour la ligne 6, comme tous les côtés d'un losange sont égaux, la valeur à insérer est $50$ pas.

En résumé :

• Ligne 3 : répéter 2 fois
• Ligne 6 : avancer de 50 pas

Analyse Question 2 : Association Scripts et Figures

Cette partie teste la capacité à visualiser le déplacement de l'objet (le lutin) suite à une séquence d'instructions. Les trois scripts commencent au même point $(-220 ; 0)$ mais diffèrent dans le mouvement effectué après le tracé de chaque losange.

Décryptage du Script 1

Dans le Script 1, l'instruction est avancer de 50 pas après chaque losange. Comme le côté du losange fait précisément $50$ pas, le nouveau losange commencera exactement là où le précédent s'est terminé, sans espace ni superposition décalée. Cela correspond visuellement à la Figure A, où les losanges sont collés les uns aux autres de manière linéaire.

Décryptage du Script 2

Le Script 2 commande d'avancer de 100 pas après chaque bloc. Puisque le losange n'occupe que $50$ pas en largeur horizontale initiale, un mouvement de $100$ pas crée un vide de $50$ pas entre chaque figure. C'est le motif observé sur la Figure C.

Décryptage du Script 3

Le Script 3 ajoute une dimension verticale avec l'instruction ajouter 30 à y en plus de l'avance de $50$ pas. Cela signifie que chaque nouveau losange sera dessiné plus haut que le précédent, créant un effet d'escalier. C'est la caractéristique principale de la Figure B.

Analyse Question 3 : Transformations Géométriques

La dernière question fait le pont entre la programmation et la géométrie plane pure. On observe une rosace composée de 6 losanges identiques disposés autour d'un point central $C$. On nous demande de décrire la transformation permettant de passer du losange $EDCF$ au losange $ABCD$.

Identification de la transformation : On remarque que les losanges ont un sommet commun, le point $C$. La figure possède une symétrie de rotation. En observant le script de la question 3, on voit l'instruction tourner de 60 degrés répétée $6$ fois (ce qui fait bien $360^\circ$ au total).

Pour passer de $EDCF$ à $ABCD$, on effectue une rotation de centre $C$. Quel est l'angle ? En comptant les positions, on voit que le losange se déplace de deux crans dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou sens anti-horaire). Chaque cran correspondant à $60^\circ$, l'angle est de $2 \times 60 = 120^\circ$.

Rédaction type : "Le losange $ABCD$ est l'image du losange $EDCF$ par la rotation de centre $C$, d'angle $120^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou sens anti-horaire)." On peut aussi accepter une rotation de $240^\circ$ dans le sens horaire.

Les Pièges à Éviter

1. L'angle de rotation dans Scratch : Attention, quand Scratch dit "tourner de $60^\circ$", il s'agit de l'angle extérieur, pas de l'angle intérieur de la figure. Dans un losange, si vous tournez de $60^\circ$ à l'extérieur, l'angle intérieur fera $180 - 60 = 120^\circ$.
2. Les unités de déplacement : Ne confondez pas aller à x, y (position absolue) et ajouter à x (déplacement relatif).
3. Précision géométrique : Pour une transformation, il faut TOUJOURS citer le centre et l'angle (et le sens pour une rotation), ou le vecteur pour une translation.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, ne vous contentez pas de donner le résultat. Même si la question 2 dit "aucune justification n'est demandée", pour la question 3, la clarté est essentielle. Utilisez un vocabulaire précis : "image", "centre", "sens horaire/anti-horaire". Pour Scratch, recopiez bien les blocs tels qu'ils apparaissent, en respectant la casse et les chiffres.