Introduction aux fondamentaux de la Géométrie au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges accorde une place prépondérante à la géométrie plane. Cet exercice, issu de la session 2022 pour la zone Étrangers, est une synthèse parfaite des compétences exigées en fin de cycle 4. Il mobilise trois piliers majeurs du programme de 3ème : la trigonométrie, le théorème de Thalès (et sa réciproque) ainsi que les propriétés des droites perpendiculaires et parallèles. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer de maîtriser une part importante des points de l'épreuve écrite.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de longueur et Trigonométrie

La première question nous demande de prouver que le segment [AB] mesure 4 cm. En observant la figure, nous repérons le triangle ABC. Le codage indique un angle droit en B, ce qui fait de ABC un triangle rectangle. Nous connaissons l'hypoténuse [AC] qui mesure 8 cm et l'angle $\widehat{BAC}$ qui mesure $60^\circ$. Pour trouver le côté adjacent [AB], nous devons utiliser le cosinus. Rappelons le moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA. Le Cosinus est égal à l'Adjacent sur l'Hypoténuse. Ainsi, $\cos(60^\circ) = AB / 8$. Par un produit en croix, $AB = 8 \times \cos(60^\circ)$. Comme $\cos(60^\circ) = 0,5$, on obtient bien $AB = 4$ cm.

2. Démontrer le parallélisme : La Réciproque de Thalès

La question 2 porte sur le parallélisme des droites (BC) et (DE). Ici, le réflexe immédiat doit être la réciproque du théorème de Thalès. Les points C, A, E d'une part, et B, A, D d'autre part, sont alignés dans le même ordre. Nous devons comparer les rapports $AB/AD$ et $AC/AE$. On nous donne $AD = 9,6$ cm et $AE = 19,2$ cm. Calculons : $4 / 9,6 \approx 0,4166$ et $8 / 19,2 \approx 0,4166$. Pour être rigoureux, vérifions l'égalité des produits en croix : $4 \times 19,2 = 76,8$ et $8 \times 9,6 = 76,8$. L'égalité est parfaite, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont bien parallèles.

3. Logique et orthogonalité

Une fois le parallélisme prouvé, la question 3 demande de déduire que (DB) est perpendiculaire à (DE). C'est une question de pure logique géométrique souvent négligée par les élèves. On sait que le triangle ABC est rectangle en B, donc (AB) (qui est la même droite que DB) est perpendiculaire à (BC). Or, nous venons de prouver que (BC) est parallèle à (DE). La propriété de 6ème s'applique : 'Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est aussi perpendiculaire à l'autre'. Par conséquent, (DB) est perpendiculaire à (DE).

4. Calcul d'aire et vision spatiale

Enfin, pour calculer l'aire du triangle ADE, nous savons désormais qu'il est rectangle en D. La formule de l'aire d'un triangle rectangle est $(Base \times Hauteur) / 2$, soit $(AD \times DE) / 2$. Il nous manque la longueur DE. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans ADE ou, plus simplement, le théorème de Thalès puisque nous avons les rapports de réduction. $DE / BC = AD / AB$. Il faut d'abord calculer BC avec Pythagore dans ABC ou avec le sinus. Une fois DE trouvé, le calcul de l'aire devient trivial. Pensez à arrondir le résultat final à l'unité comme demandé.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'utilisation incorrecte de la calculatrice : assurez-vous qu'elle soit en mode 'Degré' et non 'Radian' pour la trigonométrie. Ensuite, pour la réciproque de Thalès, n'oubliez jamais de mentionner l'alignement des points dans le même ordre, c'est une condition sine qua non pour valider le théorème. Enfin, faites attention aux unités : toutes les longueurs sont ici en cm, l'aire sera donc en $cm^2$.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses : citez toujours le triangle dans lequel vous travaillez, précisez s'il est rectangle, et énoncez clairement le théorème ou la propriété utilisé. Une réponse telle que 'D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B' est la clé d'une copie excellente.