Introduction aux notions clés du sujet
Cet exercice issu du Brevet des collèges 2022 (Sujet Étrangers) est une excellente base pour réviser plusieurs piliers du programme de mathématiques de 3ème. Il s'appuie sur des données réelles issues de la course cycliste Paris-Nice. Pour réussir, l'élève doit maîtriser quatre domaines majeurs : les statistiques (moyenne, médiane, étendue), les pourcentages, la gestion des durées (calculs en heures et minutes) et enfin la vitesse moyenne (\(v = d / t\)). Ces notions sont transversales et tombent quasiment chaque année au Brevet.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Analyse Statistique de la série de distances
La première question demande d'étudier la série brute des distances : \(166\), \(188\), \(187,5\), \(200\), \(202,5\), \(119,5\) et \(93\).
La Moyenne : Pour calculer la distance moyenne, on additionne toutes les valeurs de la série, puis on divise par l'effectif total (ici, 7 étapes). Le calcul est : \((166 + 188 + 187,5 + 200 + 202,5 + 119,5 + 93) / 7\). L'élève doit être vigilant lors de la saisie à la calculatrice et ne pas oublier l'arrondi au dixième demandé par l'énoncé. La moyenne représente la distance que chaque étape ferait si toutes les étapes étaient de longueur égale.
La Médiane : C'est ici que survient le premier piège classique. On ne peut pas calculer une médiane sans avoir préalablement ordonné la série par ordre croissant. Une fois rangée (\(93 ; 119,5 ; 166 ; 187,5 ; 188 ; 200 ; 202,5\)), la médiane est la valeur centrale. Puisque l'effectif est impair (7), c'est la 4ème valeur qui sépare la série en deux groupes de 3. Elle signifie que 50% des étapes ont une distance inférieure ou égale à cette valeur.
L'Étendue : C'est l'indicateur de dispersion le plus simple. Il se calcule en faisant la différence entre la valeur la plus élevée (\(202,5\) km) et la valeur la plus faible (\(93\) km). Cela permet de mesurer l'écart maximal de distance entre les étapes.
2. Maîtrise des Pourcentages
La question du journaliste est une application directe de la proportionnalité. Il faut d'abord identifier le nombre d'étapes au profil 'Accidenté'. En observant le tableau, on en dénombre 4 (étapes 1, 3, 5 et 7). La proportion est donc de \(4/7\). Pour transformer cette fraction en pourcentage, on effectue le calcul \((4 / 7) \times 100\). L'élève doit ensuite comparer le résultat obtenu (environ \(57,1\%\)) avec l'affirmation du journaliste (\(57\%\)) pour conclure à la validité du propos.
3. Calculs de Durées et de Retards
Travailler sur les durées demande de sortir du système décimal habituel pour utiliser le système sexagésimal (base 60). Pour trouver le retard du dernier (\(30\) h \(12\) min) sur le premier (\(28\) h \(50\) min), il faut effectuer une soustraction. Astuce de professeur : Puisque 12 minutes est inférieur à 50 minutes, il est conseillé de 'casser' une heure. \(30\) h \(12\) min devient \(29\) h \(72\) min. La soustraction devient alors simple : \(29\) h - \(28\) h = \(1\) h, et \(72\) min - \(50\) min = \(22\) min. Le retard est donc de \(1\) h \(22\) min.
4. Vitesse Moyenne et Conversions
La dernière question lie distance (\(166\) km) et durée (\(3\) h \(51\) min). La formule est \(V = d / t\). Cependant, on ne peut pas diviser directement par '3,51'. Il faut convertir \(3\) h \(51\) min en heures décimales. \(51\) minutes correspondent à \(51 / 60 = 0,85\) heure. Le temps total est donc \(3,85\) heures. Le calcul final \(166 / 3,85\) donne la vitesse en km/h. L'arrondi à l'unité est ici crucial pour obtenir tous les points.
Les Pièges à Éviter
- L'ordre de la série : Ne jamais calculer la médiane sans trier les données.
- Le système décimal : \(3\) h \(51\) min n'est pas égal à \(3,51\) heures. C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet.
- Les arrondis : Si l'énoncé demande un arrondi à l'unité, ne donnez pas deux chiffres après la virgule.
Conseils de Rédaction
Pour maximiser vos points le jour J, structurez vos réponses. Pour chaque calcul, commencez par citer la formule utilisée (ex: "On sait que \(V = d/t\)"). Présentez clairement vos étapes de conversion, surtout pour les durées. Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en n'oubliant jamais les unités (km, km/h, min).