Introduction à l'analyse de données et aux cinématiques

L'exercice 2 du sujet de Brevet 2021 pour la zone Amérique du Nord est un cas d'école concernant l'étude des fonctions affines par morceaux et de la cinématique de base. Il s'agit d'un problème concret de triathlon où l'élève doit extraire des informations d'un tableau et d'un graphique pour modéliser une situation réelle. Les notions de distance, de temps et de vitesse sont au cœur du programme de mathématiques de 3ème. La maîtrise de la lecture graphique est ici couplée à la capacité de convertir des unités de temps et de calculer des vitesses moyennes, des compétences indispensables pour réussir l'épreuve de mathématiques.

Analyse de la structure de l'exercice

L'exercice repose sur deux supports : un tableau fournissant des données partielles sur les distances des trois épreuves (natation, cyclisme, course à pied) et un graphique représentant la distance totale parcourue en fonction du temps. Le graphique présente des segments de droites de pentes différentes, ce qui correspond à des vitesses variables. On observe également des paliers horizontaux, segments où la distance ne progresse pas alors que le temps s'écoule, représentant les changements d'équipement.

Question 1 : Lecture du premier arrêt pour changement d'équipement

Pour répondre à cette question, l'élève doit identifier sur le graphique le premier segment horizontal. Ce segment commence à la fin de l'épreuve de natation. En observant l'axe des abscisses (le temps en minutes), on remarque que le premier point de rupture de la pente se situe à $x = 14$. On en déduit que l'athlète s'est arrêtée au bout de $14$ minutes pour son premier changement d'équipement. La justification doit mentionner la lecture de l'abscisse du point de départ du premier palier.

Question 2 : Calcul de la distance de l'épreuve de cyclisme

L'énoncé indique une distance totale de $12,9$ km. Pour trouver la distance du cyclisme (épreuve 2), il faut soustraire les distances connues des épreuves 1 et 3. La natation fait $400$ m, soit $0,4$ km. La course à pied fait $2,5$ km. Le calcul est le suivant : $12,9 - (0,4 + 2,5) = 12,9 - 2,9 = 10,0$ km. Le graphique confirme cette valeur : le point M a une ordonnée de $10,4$ km, ce qui correspond à la fin de l'épreuve 2. La distance parcourue durant l'épreuve 2 est la différence entre l'ordonnée de M ($10,4$) et celle de la fin du premier changement ($0,4$), soit $10,4 - 0,4 = 10$ km. La cohérence entre le calcul et le graphique est un excellent moyen pour l'élève de vérifier ses résultats.

Question 3 : Durée de l'épreuve de course à pied

L'épreuve de course à pied commence après le deuxième changement d'équipement. Le graphique montre que ce changement se termine à $44$ minutes. L'athlète termine son triathlon à $56$ minutes (lecture de l'abscisse du dernier point du graphique). La durée de la course à pied est donc la différence : $56 - 44 = 12$ minutes. Il est crucial ici de bien identifier les points de début et de fin du segment numéro 3.

Question 4 : Comparaison des vitesses des trois épreuves

Pour déterminer l'épreuve la moins rapide, on peut comparer les vitesses moyennes de chaque segment (vitesse = distance / temps) :
- Natation : $0,4$ km en $14$ min $\approx 0,028$ km/min.
- Cyclisme : $10$ km en $27$ min ($42 - 15$) $\approx 0,37$ km/min.
- Course à pied : $2,5$ km en $12$ min $\approx 0,208$ km/min.
L'athlète a été la moins rapide lors de l'épreuve de natation. Visuellement, on peut aussi observer la pente des segments : plus la pente est faible, plus la vitesse est lente. Le segment 1 est celui qui s'élève le moins vite par rapport à l'axe horizontal.

Question 5 : Analyse de la vitesse moyenne globale

La question demande si la vitesse moyenne sur l'ensemble du triathlon (en incluant les arrêts) est supérieure à $14$ km/h. La distance totale est $D = 12,9$ km. Le temps total est $T = 56$ minutes. Pour calculer la vitesse en km/h, il faut convertir le temps en heures : $T = 56 / 60$ h. La vitesse est $V = D / T = 12,9 / (56/60) = (12,9 \times 60) / 56 \approx 13,82$ km/h. Puisque $13,82 < 14$, la vitesse moyenne n'est pas supérieure à $14$ km/h. L'élève doit faire attention à ne pas oublier d'inclure les temps de changement d'équipement dans le temps total si la consigne le précise.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le principal piège de cet exercice réside dans les unités. Il faut impérativement convertir les mètres en kilomètres ($400$ m $= 0,4$ km) et les minutes en heures pour les calculs de vitesse en km/h. Un autre point de vigilance est la lecture du graphique : les élèves confondent parfois la durée d'une étape avec l'instant T affiché sur l'axe. Par exemple, l'épreuve 2 finit à $42$ min mais elle n'a pas duré $42$ min.

Conseils de rédaction pour maximiser les points

Pour obtenir tous les points, chaque réponse doit être justifiée. Ne vous contentez pas d'écrire '14 minutes'. Écrivez : 'Par lecture graphique, nous repérons l'abscisse du premier palier horizontal, qui correspond au temps de pause de l'athlète, soit 14 minutes'. Pour les calculs, détaillez toujours la formule utilisée, comme $v = d/t$, et précisez les unités à chaque étape du raisonnement. Enfin, n'oubliez pas de formuler une phrase de conclusion claire répondant précisément à la question posée.