Introduction aux automatismes de 3ème

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des Collèges de 2014 (Zone Métropole) se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est un pilier de l'épreuve de mathématiques car il permet de tester la rapidité et la solidité des connaissances fondamentales sur des thèmes variés : agrandissement-réduction, vitesses, calcul numérique et puissances. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de mobiliser instantanément les propriétés mathématiques adéquates sans se laisser piéger par les propositions distractives.

Question 1 : Les secrets de l'agrandissement-réduction

La première question porte sur le volume d'une boule et l'impact d'une modification de son rayon. En mathématiques, lorsqu'on multiplie les dimensions d'un solide par un coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. C'est une règle d'or à connaître par cœur pour le Brevet. Ici, l'énoncé précise que l'on double le rayon, ce qui signifie que le rapport d'agrandissement est $k = 2$. Le volume initial $V$ devient donc $V' = k^3 \times V = 2^3 \times V = 8V$. La réponse correcte est donc la proposition d. L'erreur classique serait de répondre 2 (linéaire) ou 4 (surface), mais le passage à la troisième dimension impose l'élévation au cube.

Question 2 : Maîtriser les conversions de vitesse

La question 2 demande de convertir une vitesse de 36 km.h$^{-1}$ en m.s$^{-1}$. Pour réussir cette conversion, il faut décomposer le calcul ou connaître le coefficient de passage direct. On sait que $36$ km correspondent à $36\ 000$ mètres et que $1$ heure correspond à $3\ 600$ secondes. On effectue donc le rapport suivant : $\frac{36\ 000}{3\ 600} = 10$. Ainsi, $36$ km.h$^{-1}$ équivaut exactement à $10$ m.s$^{-1}$ (réponse a). Un conseil de professeur : rappelez-vous que pour passer des km.h$^{-1}$ aux m.s$^{-1}$, on divise par $3,6$. C'est un automatisme qui fait gagner un temps précieux lors de l'examen.

Question 3 : Simplification des racines carrées et calcul numérique

La troisième question teste votre aisance avec les radicaux : diviser $\sqrt{525}$ par $5$. Pour simplifier cette expression, il faut chercher un carré parfait dans $525$. On remarque que $525 = 25 \times 21$. En utilisant la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, on obtient $\sqrt{525} = \sqrt{25} \times \sqrt{21} = 5\sqrt{21}$. En divisant ce résultat par $5$, les 5 au numérateur et au dénominateur se simplifient : $\frac{5\sqrt{21}}{5} = \sqrt{21}$. La bonne réponse est donc la proposition c. La difficulté réside dans la décomposition rapide du nombre sous la racine pour faire apparaître le carré de 5.

Question 4 : Puissances de 10 et stockage numérique

La dernière question mélange calcul sur les puissances et unités de stockage informatique. On nous donne $1,5$ To et on veut savoir combien de dossiers de $60$ Go on peut y loger. Étape 1 : Tout convertir dans la même unité. $1,5$ To $= 1,5 \times 10^{12}$ octets et $60$ Go $= 60 \times 10^9$ octets. Étape 2 : Effectuer la division. $\frac{1,5 \times 10^{12}}{60 \times 10^9} = \frac{1,5}{60} \times 10^{12-9} = 0,025 \times 10^3 = 25$. Il est donc possible de stocker 25 dossiers (réponse a). Notez bien l'importance de manipuler correctement les exposants lors de la division : on soustrait les puissances de 10.

Pièges classiques à éviter au Brevet

Dans un QCM, les mauvaises réponses ne sont jamais choisies au hasard. Pour la question 1, le piège est d'oublier la puissance 3 pour le volume. Pour la question 2, l'erreur fréquente est de multiplier par $3,6$ au lieu de diviser, ou de mal convertir les secondes. Pour la question 4, l'erreur principale vient de la confusion entre les préfixes (Téra, Giga, Méga) ou d'une mauvaise application des règles de calcul sur les puissances de 10. Prenez toujours 10 secondes pour vérifier la cohérence de votre résultat.

Méthodologie et rédaction pour le QCM

Même si aucune justification n'est attendue, ne travaillez jamais sans brouillon. Pour chaque question, notez vos étapes de calcul. Le jour du Brevet, respectez scrupuleusement la consigne : 'écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse'. Ne vous contentez pas d'entourer sur le sujet, rédigez proprement sur votre copie : 'Question 1 : 8'. Cela montre au correcteur votre rigueur et votre respect des consignes, des qualités essentielles pour l'obtention d'une mention.