Introduction aux notions clés du Brevet 2022

L'exercice 5 du sujet de mathématiques de Polynesie 2022 est un modèle de transversalité. Il sollicite trois compétences majeures du socle commun : la géométrie plane (Théorème de Pythagore), la trigonométrie dans le triangle rectangle, et l'algorithmique avec le logiciel Scratch. Le contexte concret, celui de la structure « chenille » du Centre Pompidou, demande à l'élève une véritable prise d'initiatives pour traduire un schéma complexe en données mathématiques exploitables.

Analyse méthodologique de la Question 1 : Prise d'initiatives et arithmétique

La première difficulté consiste à extraire les dimensions élémentaires d'un ensemble répétitif. La structure totale mesure $135$ m de long. Elle est composée de 6 passerelles horizontales identiques de $12,5$ m chacune et de 5 escalators. Pour vérifier que la profondeur $p$ d'un escalator est de $12$ m, le raisonnement doit être le suivant : on soustrait la longueur totale des passerelles à la longueur totale de l'édifice, soit $135 - (6 \times 12,5) = 60$ m. Ce résultat représente la somme des profondeurs des 5 escalators. On divise alors par 5 : $60 / 5 = 12$ m. Pour la hauteur $h$, la démarche est plus directe : la hauteur totale de $32$ m est répartie sur les 5 escalators. Ainsi, $h = 32 / 5 = 6,4$ m. Cette étape de modélisation est cruciale car elle conditionne toute la suite de l'exercice.

Analyse de la Question 2 : Géométrie et Trigonométrie

Une fois les dimensions $p$ (côté adjacent) et $h$ (côté opposé) identifiées dans le triangle rectangle RST, l'élève doit prouver que la longueur de l'escalator (l'hypoténuse ST) est de $13,6$ m. L'utilisation du Théorème de Pythagore est ici impérative. La rédaction doit être rigoureuse : « Dans le triangle RST rectangle en R, d'après le théorème de Pythagore... ». Le calcul donne $ST^2 = RS^2 + RT^2 = 12^2 + 6,4^2 = 144 + 40,96 = 184,96$. La racine carrée de $184,96$ est exactement $13,6$. Ensuite, pour l'angle $\widehat{RST}$, la trigonométrie prend le relais. On peut utiliser la tangente : $\tan(\widehat{RST}) = \frac{RT}{RS} = \frac{6,4}{12}$. En utilisant la touche $arctan$ ou $tan^{-1}$ de la calculatrice, on obtient environ $28,07\degres$, ce qui s'arrondit à $28\degres$ comme demandé.

Analyse de la Question 3 : Algorithmique et Scratch

La dernière partie évalue la compréhension d'une boucle de programmation. L'objectif est de reproduire le motif de la chenille. Le script utilise une boucle « répéter 5 fois ». À l'intérieur de cette boucle, l'élève doit identifier les segments tracés. Le programme commence par avancer de la longueur d'une passerelle ($12,5$ pas), puis il doit s'orienter pour monter l'escalator. Puisque l'angle avec l'horizontale est de $28\degres$, le stylo doit tourner vers la gauche de $28$ degrés. Il avance ensuite de la longueur de l'hypoténuse calculée précédemment ($13,6$ pas). Enfin, pour revenir à une orientation horizontale, il doit tourner vers la droite de $28$ degrés. La ligne 6 correspond au nombre de répétitions (5), la ligne 7 à la longueur de la passerelle ($12,5$), la ligne 9 à la longueur de l'escalator ($13,6$) et la ligne 10 à l'angle de correction pour revenir à l'horizontale ($28$).

Pièges à éviter et conseils de rédaction

L'erreur la plus commune est d'oublier de préciser que le triangle est rectangle avant d'appliquer Pythagore ou la Trigonométrie. Sans cette mention, le correcteur peut retirer des points. Pour Scratch, attention au sens de rotation (gauche/droite) : une erreur d'angle donnerait une figure totalement erronée. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : l'hypoténuse doit être le plus long côté du triangle, ce qui est bien le cas ici ($13,6 > 12$ et $13,6 > 6,4$).