Introduction aux fondamentaux du Brevet

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2022 est un modèle de polyvalence. Il balaie cinq domaines clés du programme de troisième : les fractions, l'arithmétique, le calcul littéral, la géométrie spatiale (volumes) et les évolutions en pourcentages. Pour réussir cette épreuve, il ne suffit pas de connaître les formules, il faut comprendre l'articulation logique entre chaque question. Ces notions représentent souvent plus de 20 % des points de l'épreuve finale de mathématiques.

Analyse Méthodique du Sujet

1. Maîtrise des calculs de fractions

La première question demande de calculer $\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8}$. La difficulté réside dans le choix du dénominateur commun. L'erreur classique est de multiplier simplement les deux dénominateurs (48), ce qui alourdit les calculs. Il est préférable de chercher le Plus Petit Multiple Commun (PPCM). Ici, 24 est idéal. On transforme ainsi les fractions : $\dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} + \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{20}{24} + \dfrac{21}{24} = \dfrac{41}{24}$. Le résultat est déjà irréductible car 41 est un nombre premier.

2. Arithmétique et décomposition

La décomposition en facteurs premiers est un outil puissant pour simplifier les fractions complexes. Pour 198, on procède par divisions successives : $198 = 2 \times 99 = 2 \times 3^2 \times 11$. Pour 84 : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Pour simplifier $\dfrac{198}{84}$, on remplace le numérateur et le dénominateur par leurs décompositions. En barrant les facteurs communs ($2 \times 3 = 6$), il reste $\dfrac{3 \times 11}{2 \times 7} = \dfrac{33}{14}$. Cette méthode garantit l'obtention d'une fraction irréductible en une seule étape.

3. Développement et réduction littérale

L'expression $E = 5(3x - 4) - (2x - 7)$ nécessite une attention particulière sur les signes. La première partie utilise la distributivité simple : $5 \times 3x - 5 \times 4 = 15x - 20$. La seconde partie est le piège majeur : le signe '-' devant la parenthèse inverse tous les signes intérieurs. Ainsi, $-(2x - 7)$ devient $-2x + 7$. La réduction finale donne $E = 15x - 20 - 2x + 7 = 13x - 13$. Une factorisation éventuelle par 13 pourrait être demandée : $13(x - 1)$.

4. Modélisation géométrique et équation

Le rectangle présenté combine géométrie et algèbre. On sait que le périmètre est égal à 25. La formule du périmètre est $P = 2 \times (L + l)$. Ici, la longueur $L$ est composée de $b + 2,9$ et la largeur $l$ vaut $4,5$. L'équation s'écrit donc : $2(b + 2,9 + 4,5) = 25$. En simplifiant l'intérieur : $2(b + 7,4) = 25$. En divisant par 2 : $b + 7,4 = 12,5$, soit $b = 5,1$. L'élève doit toujours vérifier la cohérence de son résultat : une longueur ne peut être négative.

5. Géométrie dans l'espace : Le Volume

Le calcul du volume d'une pyramide repose sur la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$. La base est un rectangle de dimensions $4$ et $3$, donc $\text{Aire} = 4 \times 3 = 12$. Avec une hauteur $SH = 6$, on obtient $V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 6 = 4 \times 6 = 24$. N'oubliez jamais le coefficient $\dfrac{1}{3}$ qui différencie la pyramide du prisme droit.

6. Pourcentages et évolution réciproque

C'est la question la plus sélective. Une augmentation de 12 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1,12$ ($1 + \dfrac{12}{100}$). Pour retrouver la valeur initiale (en 2019) à partir de la valeur finale (en 2020), il ne faut surtout pas soustraire 12 % à la valeur finale ! Il faut diviser par le coefficient : $20692 / 1,12 = 18475$. Il y avait donc 18 475 habitants en 2019.

Les Pièges à éviter

1. Les signes dans le calcul littéral : le signe '-' devant une parenthèse est l'erreur n°1 au Brevet. 2. L'oubli de l'unité : bien que non spécifiée ici, précisez toujours l'unité si elle est donnée. 3. La confusion entre aire et périmètre : révisez vos formules de base. 4. Les pourcentages : apprenez à jongler entre valeur initiale et valeur finale avec les coefficients multiplicateurs.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour maximiser vos points, détaillez chaque étape. Pour la décomposition en facteurs premiers, montrez que vous connaissez les critères de divisibilité (par 2, 3, 5). Pour les problèmes, écrivez explicitement l'équation ou la formule utilisée avant de passer aux calculs numériques. Une copie propre et structurée avec des résultats encadrés incite le correcteur à la bienveillance.