Introduction aux notions du Brevet 2021

Cet exercice, issu de la session 2021 du brevet en Nouvelle-Calédonie, est un classique incontournable qui combine deux piliers du programme de mathématiques de troisième : la géométrie plane (avec l'application du théorème de Thalès) et l'algorithmique-programmation via l'interface Scratch. L'objectif est double : tester votre capacité à modéliser une situation concrète (la hauteur d'une balise maritime) et à traduire un motif géométrique complexe en instructions logiques répétitives.

Analyse de la Partie Géométrie : Le Théorème de Thalès

La première partie de l'exercice nous place face à une configuration de Thalès dite en 'emboîtement' ou en 'triangle'. Les points O, A, H d'une part et O, B, P d'autre part sont alignés. L'énoncé précise explicitement que les droites (PH) et (BA) sont parallèles, ce qui est la condition sine qua non pour invoquer le théorème de Thalès.

Question 1 : Calcul de la distance OH

Pour calculer la distance totale $OH$, il faut observer attentivement le schéma. On nous donne la distance entre le phare et la balise ($AH = 260$ m) et la distance entre la balise et la bouée ($OA = 151$ m). Puisque les points O, A et H sont alignés dans cet ordre, la distance $OH$ est simplement la somme des segments : $OH = OA + AH = 151 + 260 = 411$ mètres. C'est une étape préliminaire cruciale pour la suite du raisonnement.

Question 2 : Déterminer la hauteur AB

Dans le triangle OPH, puisque (AB) est parallèle à (PH), d'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants : $\frac{OA}{OH} = \frac{OB}{OP} = \frac{AB}{PH}$. Nous connaissons $OA = 151$, $OH = 411$ et la hauteur du phare $PH = 56$. L'égalité utile est $\frac{151}{411} = \frac{AB}{56}$. Par un produit en croix, nous obtenons $AB = \frac{151 \times 56}{411} \approx 20,579$. L'énoncé demande un arrondi au dixième, donc la hauteur de la balise est d'environ $20,6$ mètres.

Analyse de la Partie Algorithmique : Scratch et Géométrie

La seconde partie de l'exercice bascule sur la programmation. Il s'agit de reproduire le contour d'une sculpture protectrice. C'est un exercice de repérage dans le plan et de compréhension des rotations.

Question 3 : Calcul de l'angle a

Le schéma montre que l'angle plat ($180^\circ$) est divisé en plusieurs secteurs. On voit un angle de $72^\circ$ et un angle complémentaire $\widehat{a}$. La somme des angles formant le demi-tour doit être égale à $180^\circ$. Par conséquent, $\widehat{a} = 180 - 72 = 108^\circ$. Cette valeur est essentielle car elle détermine le 'virage' que devra prendre le lutin Scratch pour dessiner le motif.

Question 4 : Compléter le script du motif

En observant le 'Script 1' et la figure pointillée, on identifie les segments. Le premier segment mesure 38 pas. Ensuite, le lutin doit tourner. L'angle de rotation dans Scratch correspond toujours à l'angle extérieur. Ici, pour passer du segment de 38 au segment de 28, on tourne de $72^\circ$. Le script se complète comme suit :
1. avancer de 38
2. tourner à droite de 72 degrés
3. avancer de 28
4. tourner à gauche de 108 degrés (valeur calculée précédemment)
5. avancer de 28 (par symétrie du motif)
6. tourner à droite de 90 degrés
7. avancer de 38.

Question 5 : Le script final et la répétition

Pour obtenir la sculpture complète, il faut répéter le motif. En comptant les 'pointes' sur la figure globale, on s'aperçoit qu'il y en a 5. Cependant, si l'on regarde la rotation totale, un tour complet fait $360^\circ$. Le script demande combien de fois répéter et de quel angle tourner. Si le motif est répété 5 fois, l'angle de rotation entre chaque motif sera de $360 / 5 = 72$ degrés. Cela assure que le stylo revient à sa position initiale après avoir fait le tour de la sculpture.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le piège principal dans cet exercice est l'oubli de la rédaction. Pour Thalès, il ne suffit pas de faire le calcul : il faut citer les droites parallèles et les points alignés pour justifier l'usage du théorème. En Scratch, l'erreur classique est de confondre l'angle intérieur d'une figure et l'angle de rotation (angle extérieur). Rappelez-vous : 'tourner de X degrés' signifie changer la direction actuelle de X degrés.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour la question 2, structurez votre réponse ainsi : 'Dans le triangle OPH, les points O, A, H et O, B, P sont alignés. Les droites (AB) et (PH) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès...'. Pour la partie Scratch, n'hésitez pas à dessiner les flèches de direction sur votre brouillon pour visualiser le mouvement du lutin. Cela évite les erreurs de sens (gauche vs droite).