Introduction aux notions du Brevet 2021

L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet 2021 (Métropole) est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) qui balaie deux piliers fondamentaux du programme de troisième : les probabilités et les transformations géométriques. Ce format est particulièrement intéressant car il exige une grande précision conceptuelle : une seule erreur de lecture et le point s'envole, puisqu'aucune justification n'est demandée. Cet exercice se divise en deux parties distinctes : une étude de tirage aléatoire dans une urne et une analyse de motifs géométriques complexes faisant intervenir des rotations, des symétries et des homothéties.

Analyse Méthodique - Partie A : Les Probabilités

Dans cette première partie, nous travaillons sur une urne contenant des jetons de quatre couleurs différentes. La première étape cruciale, souvent négligée par les élèves pressés, est de calculer l'effectif total de l'urne. On additionne les jetons : $7 + 4 + 3 + 2 = 16$. L'univers des possibles comporte donc 16 issues équiprobables.

Question 1 : Identification d'un événement

On nous demande à quel événement correspond la probabilité $\frac{7}{16}$. Puisque le dénominateur correspond au total des jetons, le numérateur 7 doit correspondre au nombre de jetons d'une couleur spécifique. En consultant l'énoncé, on voit immédiatement que les jetons verts sont au nombre de 7. L'événement est donc "Obtenir un jeton vert". C'est une application directe de la formule de Laplace : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$.

Question 2 : Événement contraire

La question porte sur la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu. Il existe deux méthodes pour raisonner :
1. Soustraire les jetons bleus du total : $16 - 3 = 13$ jetons ne sont pas bleus. La probabilité est donc $\frac{13}{16}$.
2. Utiliser la formule de l'événement contraire : $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$. Comme $P(B) = \frac{3}{16}$, on obtient $1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

Analyse Méthodique - Partie B : Géométrie et Transformations

Cette partie s'appuie sur une figure complexe (une rosace de motifs pentagonaux). La clé ici est de comprendre la structure de la figure : elle est divisée en 10 secteurs angulaires égaux autour du point O. Puisqu'un tour complet fait $360^\circ$, chaque secteur (comme $\widehat{AOB}$) mesure $360/10 = 36^\circ$.

Question 3 : La Symétrie Axiale

On cherche l'image du motif 20 par la symétrie d'axe $(d)$. La droite $(d)$ est l'axe horizontal passant par O. Par un effet miroir, le motif 20, situé en bas à droite, se reflète vers le haut. En observant attentivement les numéros, on s'aperçoit que le motif 17 est le symétrique exact du motif 20 par rapport à cet axe horizontal.

Question 4 : La Rotation

Pour passer du motif 1 au motif 3 dans le sens des aiguilles d'une montre (ou inversement), on se déplace de deux secteurs. Chaque secteur représentant un angle de $36^\circ$, le déplacement total est de $36 \times 2 = 72^\circ$. La rotation est donc de centre O et d'angle $72^\circ$. Attention à bien compter les 'sauts' entre les motifs et non les motifs eux-mêmes.

Question 5 : Homothétie et Agrandissement-Réduction

C'est ici que se trouve le piège classique du Brevet. Le motif 11 est l'image du motif 1 par une homothétie de rapport 2. Si les longueurs sont multipliées par un rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici, $k=2$, donc l'aire est multipliée par $2^2 = 4$. L'aire du motif 11 est donc égale à 4 fois l'aire du motif 1.

Les Pièges à éviter

1. En Probabilités : Ne pas confondre l'événement "Vert ou Rouge" avec l'événement "Vert". L'un s'additionne ($7+4=11$), l'autre est unique.
2. En Géométrie : L'erreur la plus fréquente en homothétie est de penser que l'aire double quand le rapport est de 2. Retenez bien : Longueurs $\to k$, Aires $\to k^2$, Volumes $\to k^3$.
3. Lecture de consigne : Le QCM demande de recopier le numéro et la réponse. Ne perdez pas de temps à justifier sur votre copie, gardez ce temps pour les exercices de type 'Problème'.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si aucune justification n'est demandée, utilisez votre brouillon pour schématiser les transformations. Pour la symétrie, tournez votre feuille pour que l'axe $(d)$ soit vertical face à vous, cela facilite la perception visuelle de l'effet miroir. Pour les probabilités, écrivez toujours l'addition de l'effectif total pour ne pas faire d'erreur de calcul mental basique sous le stress de l'examen.