Introduction aux notions de géométrie appliquée

Cet exercice issu du Brevet 2014 (Série Collège, Métropole) est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il combine plusieurs compétences fondamentales du cycle 4 : l'utilisation du théorème de Thalès dans une situation concrète, la maîtrise des agrandissements et réductions, ainsi que le calcul de grandeurs liées au périmètre d'un cercle. L'énoncé nous plonge dans une application métier : la mesure de la hauteur d'un arbre à l'aide d'un instrument historique, la 'croix de bûcheron'. Ce type de problème est fréquent à l'examen car il permet de vérifier si l'élève sait passer d'un modèle mathématique abstrait (points alignés, droites parallèles) à une situation réelle de terrain.

Analyse Méthodique : Justification du coefficient d'agrandissement

La première question demande de justifier que le triangle $ABO$ est un agrandissement du triangle $ODE$ avec un coefficient de $22$. Pour réussir cette étape, il est impératif de repérer la configuration de Thalès dite 'en papillon' ou 'imbriquée'. Ici, nous sommes dans une configuration de triangles semblables où le point $O$ est le centre de l'homothétie. Les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont verticales (donc parallèles entre elles). Les points $O, D, A$ et $O, E, B$ sont alignés. Le coefficient d'agrandissement $k$ est le rapport entre une longueur du grand triangle et la longueur correspondante du petit triangle. L'astuce réside dans les unités : on sait que $BC = 7,7$ m (ce qui correspond à la distance horizontale entre l'arbre et l'observateur) et $OF = 35$ cm. Il faut impérativement convertir $BC$ en centimètres pour comparer les valeurs : $7,7$ m = $770$ cm. Le rapport de proportionnalité entre les distances horizontales est donc $k = \frac{770}{35}$. En effectuant le calcul, on obtient bien $k = 22$. Cela signifie que toutes les dimensions du triangle $ABO$ sont $22$ fois plus grandes que celles du triangle $ODE$.

Calcul de la hauteur de l'arbre (Théorème de Thalès)

Une fois le coefficient d'agrandissement établi, la question 2 devient une simple application de la propriété des agrandissements. La hauteur de l'arbre correspond au segment $[AB]$. Dans le petit triangle, la hauteur correspondante est le segment $[DE]$. L'énoncé précise que $DE = 20$ cm. Puisque le coefficient de passage du petit vers le grand triangle est de $22$, nous appliquons la formule : $AB = DE \times k$. En remplaçant par les valeurs numériques, nous avons $AB = 20 \times 22 = 440$ cm. Attention, la consigne demande explicitement la hauteur en mètres. Il faut donc effectuer une conversion finale : $440$ cm = $4,4$ m. La hauteur totale du chêne est donc de $4,4$ mètres. Cette méthode de la croix de bûcheron repose sur la conservation des rapports de longueurs dans des triangles semblables.

Réflexion sur l'instrument : Le cas particulier DE = OF

La question 3 aborde un aspect pratique : que se passe-t-il si $DE = OF$ ? C'est une question de logique géométrique. Si $DE$ est égal à $OF$, alors le rapport de proportionnalité devient extrêmement simple. En effet, si $DE = OF$, alors dans le rapport de Thalès, le triangle est tel que la base est égale à la hauteur. Dans ce cas précis, le coefficient d'agrandissement appliqué à $OF$ pour obtenir $BC$ sera le même que celui appliqué à $DE$ pour obtenir $AB$. Mathématiquement, si $DE = OF$, alors $AB = BC$. L'avantage majeur pour le bûcheron est qu'il n'a plus besoin de faire de calculs complexes : la hauteur de l'arbre est exactement égale à la distance qui le sépare de l'arbre au sol. Il lui suffit de reculer jusqu'à ce que le sommet et le pied de l'arbre coïncident avec les extrémités de sa croix, puis de mesurer sa distance au tronc par terre.

Aires et périmètres : Calcul du diamètre du tronc

La dernière partie de l'exercice délaisse Thalès pour se concentrer sur les propriétés du cercle. Julien mesure une circonférence de $138$ cm à $1,5$ m du sol. On rappelle la formule du périmètre d'un cercle : $P = \pi \times d$, où $d$ représente le diamètre. Pour trouver le diamètre, il faut isoler l'inconnue $d$ en divisant le périmètre par le nombre $\pi$ : $d = \frac{138}{\pi}$. À l'aide de la calculatrice, on obtient $d \approx 43,926...$ cm. L'énoncé demande un arrondi au centimètre près. Le chiffre des dixièmes étant $9$ (supérieur ou égal à $5$), on arrondit à l'unité supérieure. Le diamètre de l'arbre est donc d'environ $44$ cm. C'est une application directe mais essentielle pour valider les points sur les grandeurs et mesures.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points sur cet exercice. Premièrement, le mélange des unités : mélanger des mètres et des centimètres dans un rapport de Thalès conduit systématiquement à un résultat faux. Choisissez toujours une unité de référence (le cm est souvent plus simple ici). Deuxièmement, l'oubli de la rédaction : ne vous contentez pas d'aligner des calculs. Mentionnez toujours que les droites sont parallèles et précisez quels points sont alignés pour justifier l'usage de Thalès. Enfin, l'arrondi : lisez bien la consigne. Un arrondi au centimètre n'est pas un arrondi au millimètre.

Conseils de rédaction pour maximiser sa note

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse : 1. Citez le théorème ou la propriété utilisée (ex: 'D'après le théorème de Thalès...'). 2. Présentez vos données clairement. 3. Posez l'égalité des rapports. 4. Faites l'application numérique. 5. Concluez par une phrase de réponse avec l'unité correcte. Une copie propre et organisée rassure le correcteur sur votre compréhension du problème.