Introduction aux concepts de l'exercice

Cet exercice issu du sujet de brevet de la zone Asie 2021 est une synthèse parfaite de la géométrie au programme de la classe de 3ème. Il combine quatre notions fondamentales : le théorème de Pythagore, les transformations géométriques (spécifiquement l'homothétie), les agrandissements-réductions et la trigonométrie. La structure de l'exercice repose sur une suite de carrés construits de manière itérative en doublant la longueur du côté à chaque étape. Cette progression géométrique est un excellent support pour tester la compréhension des coefficients d'agrandissement et leurs effets sur les longueurs.

Analyse méthodique de la Question 1 : Le calcul de la diagonale

La première question demande de calculer la longueur $AC$, qui est la diagonale du carré 1 (noté $ABCD$). Dans un carré, tous les angles sont droits. Ainsi, le triangle $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. Pour calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$, nous utilisons le théorème de Pythagore.
L'énoncé indique que le côté du carré est de $1$ cm. On a donc : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
Par conséquent, $AC = \sqrt{2} \approx 1,41$ cm.
Note pédagogique : Il est crucial de bien rédiger l'égalité de Pythagore en nommant le triangle et l'endroit où il est rectangle pour obtenir tous les points de rédaction.

Analyse de la Question 2 : Agrandissements et Homothétie

La partie 2 porte sur la dynamique de construction des carrés. L'énoncé précise que l'on construit chaque nouveau carré en "doublant la longueur du côté".
Question 2.a : Le coefficient d'agrandissement pour passer d'un carré au suivant est donc de $2$. C'est une application directe de la définition d'un agrandissement de rapport $k=2$.
Question 2.b : On nous demande de choisir le type de transformation. Puisque les points $A$, $B$, $E$, $H$ sont alignés d'une part, et $A$, $D$, $G$, $J$ d'autre part, et que la figure est dilatée à partir du point $A$, il s'agit d'une homothétie. Le centre de cette homothétie est le point $A$ et son rapport est $2$ pour passer du carré 1 au carré 2.
Question 2.c : L'affirmation concerne la diagonale du carré 3 ($AHIJ$). Voyons les longueurs :
- Côté Carré 1 ($ABCD$) = $1$ cm.
- Côté Carré 2 ($AEFG$) = $2$ cm (double du précédent).
- Côté Carré 3 ($AHIJ$) = $4$ cm (double du précédent).
Puisque le côté du carré 3 est $4$ fois plus grand que celui du carré 1, toutes les longueurs associées (périmètres, diagonales) sont également multipliées par $4$. L'affirmation disant que la diagonale est "trois fois plus grande" est donc fausse. Le rapport est de $4$.

Analyse de la Question 3 : Trigonométrie dans le triangle rectangle

La dernière question demande la mesure de l'angle $\widehat{AJB}$ au degré près. Pour cela, nous devons identifier un triangle rectangle contenant cet angle.
Le triangle $ABJ$ est rectangle en $A$ car $ABCD$ est un carré et les points sont alignés sur les axes perpendiculaires.
Dans le triangle $ABJ$ rectangle en $A$, nous connaissons :
- Le côté opposé à l'angle $\widehat{AJB}$ : $AB = 1$ cm.
- Le côté adjacent à l'angle $\widehat{AJB}$ : $AJ$.
Quelle est la longueur de $AJ$ ? Le carré 3 ($AHIJ$) a un côté de $4$ cm, donc $AJ = 4$ cm.
On utilise la formule de la tangente : $\tan(\widehat{AJB}) = \frac{AB}{AJ} = \frac{1}{4} = 0,25$.
À l'aide de la calculatrice (touche $arctan$ ou $tan^{-1}$), on trouve $\widehat{AJB} \approx 14,036...^\circ$.
L'arrondi au degré près donne donc $14^\circ$.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. Confusion des coefficients : Attention à ne pas confondre le coefficient de longueur ($k$) et le coefficient d'aire ($k^2$). Si les longueurs doublent, les aires sont multipliées par $4$.
2. Calculatrice en mode Degré : Pour la trigonométrie, vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode 'DEG' et non 'RAD' ou 'GRAD'.
3. Justification : Même quand l'énoncé dit "aucune justification n'est demandée", assurez-vous de faire les calculs au brouillon pour ne pas répondre au hasard.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, même sur un exercice court :
- Citez toujours le théorème utilisé (Ex: "D'après le théorème de Pythagore...").
- Présentez vos résultats de manière claire, idéalement soulignés ou encadrés.
- N'oubliez pas les unités (cm, cm², degrés) même si elles ne sont pas toujours explicitement demandées dans le calcul intermédiaire.