Introduction aux notions fondamentales du Brevet

Cet exercice, issu du sujet officiel du Brevet des collèges 2020 pour la zone Antilles-Guyane, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que le format QCM puisse paraître simple au premier abord, il exige une rigueur mathématique absolue, car chaque point doit être justifié par un raisonnement logique ou un calcul intermédiaire. Les thèmes abordés ici sont les piliers du programme de 3ème : l'agrandissement-réduction des volumes, le calcul littéral (substitution et identités remarquables), les opérations sur les fractions et la notation scientifique des grands nombres.

Analyse détaillée question par question

Question 1 : Agrandissement et Volume. On nous interroge sur l'effet d'une multiplication des arêtes d'un cube par un facteur $k = 3$. En mathématiques, il est crucial de se rappeler les propriétés de proportionnalité dans l'espace. Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ici, le volume initial $V$ devient $V' = V \times 3^3$. Le calcul $3 \times 3 \times 3$ donne $27$. La réponse attendue est donc la D. Il ne faut pas confondre avec le périmètre (multiplié par 3) ou l'aire des faces (multipliée par 9).

Question 2 : Substitution dans une expression littérale. On nous demande de calculer la valeur de $x^2 + 3x + 4$ pour $x = -4$. C'est un test classique sur la gestion des signes négatifs et des priorités opératoires. En remplaçant $x$ par $(-4)$, on obtient : $(-4)^2 + 3 \times (-4) + 4$. Le carré d'un nombre négatif est toujours positif, donc $(-4)^2 = 16$. Ensuite, $3 \times (-4) = -12$. L'expression devient $16 - 12 + 4$, ce qui nous donne $4 + 4 = 8$. La réponse exacte est la A.

Question 3 : Somme de fractions. L'opération est $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$. Pour additionner deux fractions, la règle d'or est la réduction au même dénominateur. Le plus petit multiple commun à 3 et 4 est 12. On transforme les fractions : $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12}$. En additionnant les numérateurs, on obtient $\frac{7}{12}$. La réponse C est donc la seule valide. Notez que la réponse 0,583 est une valeur approchée, mais pas la valeur exacte demandée par l'égalité.

Question 4 : La notation scientifique. Le nombre à convertir est 1 500 000 000. La notation scientifique impose la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre compris entre 1 et 10 (exclu). Ici, on déplace la virgule de 9 rangs vers la gauche pour obtenir $1,5$. Le nombre étant supérieur à 1, l'exposant est positif. On obtient ainsi $1,5 \times 10^9$. Cela correspond à la réponse D. La réponse B ($15 \times 10^8$) n'est pas en notation scientifique car 15 est supérieur à 10.

Question 5 : Développement et Identités remarquables. L'expression $(x - 2)(x + 2)$ est la forme type de la troisième identité remarquable : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. En appliquant directement cette formule avec $a = x$ et $b = 2$, on obtient $x^2 - 2^2$, soit $x^2 - 4$. C'est la réponse A. Un développement classique par double distributivité donnerait $x^2 + 2x - 2x - 4$, ce qui confirme l'annulation des termes en $x$.

Pièges classiques à éviter au Brevet

Lors de cet exercice, plusieurs erreurs fréquentes peuvent coûter des points. Pour l'agrandissement, l'erreur type est de multiplier le volume par 3 au lieu de $3^3$. Concernant le calcul littéral avec des nombres négatifs, l'oubli des parenthèses sur le carré (calculer $-4^2$ au lieu de $(-4)^2$) conduit systématiquement à un résultat erroné ($-16$ au lieu de $16$). Pour les fractions, l'erreur monumentale est d'additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux (ce qui donnerait $\frac{2}{7}$, réponse A, un piège classique). Enfin, pour la notation scientifique, veillez à toujours avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.

Conseils de rédaction pour l'examen

Même si le sujet indique qu'il s'agit d'un QCM, la consigne précise explicitement que toute réponse doit être justifiée. Pour maximiser vos points, ne vous contentez pas d'écrire la lettre de la réponse. Rédigez une courte phrase ou présentez le calcul intermédiaire. Par exemple, pour la question 3, écrivez : 'Pour additionner $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{4}$, je les réduis au dénominateur 12...'. Une justification claire prouve au correcteur que vous n'avez pas répondu au hasard et sécurise votre note même en cas de petite erreur de calcul final.