Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet

L'exercice 1 du sujet du Brevet 2020 (Zone Antilles) est une véritable synthèse des compétences attendues en fin de collège. Il regroupe les trois piliers du programme de troisième : le théorème de Pythagore (dans sa version réciproque), le théorème de Thalès et la trigonométrie. Cet exercice est idéal pour réviser car il demande à l'élève non seulement de mobiliser des formules de calcul, mais aussi de démontrer sa capacité à structurer une démonstration géométrique rigoureuse. Comprendre ce sujet, c'est s'assurer une maîtrise complète des configurations du plan et des relations métriques dans le triangle rectangle.

Analyse Question 1 : La précision du tracé géométrique

La première question demande une construction en vraie grandeur. Bien que cela semble simple, Google et les correcteurs du Brevet valorisent la méthode. Il s'agit ici de construire un triangle ABC avec des dimensions précises : $AC = 10,4$ cm, $AB = 4$ cm et $BC = 9,6$ cm. Pour réussir ce tracé, l'utilisation du compas est obligatoire pour reporter les longueurs AB et BC à partir des extrémités du segment [AC]. L'élève doit impérativement laisser les traits de construction (arcs de cercle) apparents. Cela prouve au correcteur que la figure n'a pas été faite au hasard mais avec une méthode géométrique valide. N'oubliez pas de placer les points K et L en respectant les consignes d'alignement et de parallélisme.

Analyse Question 2 : Démontrer qu'un triangle est rectangle

Pour prouver que le triangle ABC est rectangle en B, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. C'est un classique des épreuves de mathématiques.
Étape 1 : Identifier le côté le plus long (potentielle hypoténuse), ici $AC = 10,4$.
Étape 2 : Calculer le carré de ce côté : $AC^2 = 10,4^2 = 108,16$.
Étape 3 : Calculer la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + BC^2 = 4^2 + 9,6^2 = 16 + 92,16 = 108,16$.
Analyse : On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Rédaction : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. Cette rigueur dans la présentation est la clé pour obtenir l'intégralité des points. L'égalité doit être clairement établie avant de citer le théorème.

Analyse Question 3 : Application du théorème de Thalès

La question 3 introduit la notion de parallélisme avec la droite (KL) parallèle à (AB). Les points C, K, B d'une part et C, L, A d'autre part sont alignés. Nous sommes typiquement dans une configuration de Thalès (configuration dite en 'emboîtement' ou 'petit triangle dans le grand').
Le rapport de proportionnalité s'écrit : $\frac{CK}{CB} = \frac{CL}{CA} = \frac{KL}{BA}$.
Nous connaissons $CK = 3$ cm, $CB = 9,6$ cm et $CA = 10,4$ cm. Pour trouver CL, nous utilisons l'égalité $\frac{3}{9,6} = \frac{CL}{10,4}$.
Par un produit en croix, on obtient : $CL = \frac{3 \times 10,4}{9,6} = 3,25$ cm.
L'astuce pédagogique : Vérifiez toujours que votre résultat est cohérent. CL doit être plus petit que CA, ce qui est bien le cas ici (3,25 < 10,4).

Analyse Question 4 : Maîtriser la Trigonométrie

La dernière étape consiste à calculer la mesure de l'angle $\widehat{CAB}$. Puisque nous avons prouvé à la question 2 que le triangle ABC est rectangle en B, nous pouvons utiliser les formules de trigonométrie (SOH CAH TOA).
Plusieurs options s'offrent à nous :
1. Cosinus : $\cos(\widehat{CAB}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{10,4}$.
2. Sinus : $\sin(\widehat{CAB}) = \frac{BC}{AC} = \frac{9,6}{10,4}$.
En utilisant la touche 'Arccos' ou 'Arcsin' de la calculatrice, on trouve $\widehat{CAB} \approx 67,38^\circ$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, donc la réponse attendue est $67^\circ$.
Attention : Assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degrés' et non 'Radians'.

Pièges classiques et conseils de rédaction

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de confondre le théorème de Pythagore (calcul d'une longueur) avec sa réciproque (preuve d'un angle droit). De même, pour Thalès, n'oubliez jamais de mentionner que les droites sont parallèles avant de poser les rapports. Pour la trigonométrie, vérifiez bien quel est le côté opposé et quel est le côté adjacent par rapport à l'angle étudié. Enfin, soignez la présentation : un correcteur qui lit une copie propre avec des conclusions encadrées est toujours mieux disposé à attribuer des points bonus de soin.