Introduction aux Fonctions et Équations du Brevet
L'exercice 5 du Brevet de Mathématiques 2020 (série Polynésie) est un grand classique qui mêle l'étude de fonctions affines, de fonctions linéaires et la résolution d'équations. À travers une situation concrète de randonnée entre deux personnages, Camille et Claude, l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser un problème physique par des expressions algébriques et à interpréter des représentations graphiques. Ces notions sont fondamentales au cycle 4 et constituent une part importante du barème lors de l'examen final.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice commence par l'identification de deux droites : $(d_1)$ et $(d_2)$.
1. Identification des droites et fonctions
Pour la question 1, il est essentiel de regarder l'ordonnée à l'origine. La fonction $g(t) = 6t$ est une fonction linéaire car elle est de la forme $at$. Sa représentation graphique doit donc passer par l'origine du repère (point $O$). En observant le graphique, nous voyons que $(d_1)$ passe par $0$. Ainsi, $(d_1)$ représente la fonction $g$. À l'inverse, $f(t) = 4t + 3$ est une fonction affine de la forme $at + b$ avec $b = 3$. La droite $(d_2)$ coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 3)$, elle représente donc la fonction $f$.
2. Résolution de l'équation $f(t) = g(t)$
Pour résoudre $4t + 3 = 6t$, on utilise la méthode de la balance :
- On soustrait $4t$ des deux côtés : $3 = 6t - 4t$
- On obtient : $3 = 2t$
- On divise par 2 : $t = 3 / 2 = 1,5$.
La solution est $1,5$. En mathématiques, cela signifie que les deux fonctions prennent la même valeur lorsque $t$ vaut $1,5$.
3. Application concrète : La randonnée
Le problème de Camille et Claude introduit une dimension temporelle. Camille part $45$ minutes avant Claude. En mathématiques, il faut toujours travailler dans des unités cohérentes. $45$ minutes correspondent à $45/60 = 0,75$ heure. Puisque Camille marche à $4$ km/h, elle a déjà parcouru une distance de $D = v \times t = 4 \times 0,75 = 3$ km au moment où Claude commence sa marche. C'est un point de départ crucial pour comprendre la suite.
4. Modélisation de la distance de Camille
On nous demande d'expliquer pourquoi la distance de Camille est $4t + 3$. Au temps $t = 0$ (départ de Claude), Camille est déjà à $3$ km du point de départ. Ensuite, pour chaque heure $t$ supplémentaire, elle parcourt $4$ km supplémentaires (vitesse de $4$ km/h). La distance totale est donc la somme de son avance et de la distance parcourue depuis le départ de Claude : $4 \times t + 3$. On retrouve exactement la structure de la fonction affine $f(t)$.
5. Le moment du dépassement
Claude rattrape Camille quand leurs distances parcourues sont égales. Algébriquement, cela revient à poser $f(t) = g(t)$. Nous avons déjà résolu cette équation à la question 2 : $t = 1,5$ heure. Pour être précis dans la réponse, on convertit $0,5$ heure en minutes : $0,5 \times 60 = 30$ minutes. Claude rattrapera donc Camille après $1$ heure et $30$ minutes de marche.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal de cet exercice réside dans la conversion des unités. De nombreux élèves utilisent directement la valeur $45$ dans les calculs, ce qui fausse totalement le résultat. Rappelez-vous : si la vitesse est en km/h, le temps doit impérativement être exprimé en heures.
Un autre piège est l'inversion des fonctions lors de la lecture graphique. Vérifiez toujours le 'coefficient directeur' : la droite la plus 'pentue' correspond à la vitesse la plus élevée (ici Claude avec $6$ km/h).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points :
1. Justifiez l'association fonction/droite en citant explicitement le cours : "La fonction $g$ est linéaire, sa représentation est une droite passant par l'origine".
2. Détaillez chaque étape de la résolution d'équation. Ne donnez pas le résultat directement.
3. Pour la question d'explication (Q4), faites une phrase claire en distinguant l'avance (ordonnée à l'origine) et la progression (coefficient directeur).
4. N'oubliez jamais les unités dans votre conclusion (heures, minutes, kilomètres).