Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet
L'exercice 5 du sujet de Brevet Polynésie 2019 est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il s'agit d'un problème de modélisation mathématique appliqué à la navigation à voile. Ce type d'exercice permet de vérifier la maîtrise de deux piliers du programme de géométrie : le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans le triangle rectangle. L'objectif est de comparer deux trajectoires en zigzag pour des voiliers remontant le vent, ce qui demande une analyse rigoureuse des figures géométriques formées par les tracés.
Analyse de la trajectoire du Voilier 1 : L'application de Pythagore
Pour le voilier 1, le trajet est composé des segments [AB] et [BC]. La figure nous indique un angle droit au point B, ce qui signifie que le triangle ABC est rectangle en B. Dans ce contexte, pour calculer la distance totale parcourue, nous devons d'abord déterminer la longueur du segment [BC]. Nous connaissons la longueur de l'hypoténuse $AC = 5,6$ km (distance directe entre le départ et l'arrivée) et la longueur d'un côté de l'angle droit $AB = 4,8$ km.
Le raisonnement doit être structuré ainsi : dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité $AC^2 = AB^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $5,6^2 = 4,8^2 + BC^2$, soit $31,36 = 23,04 + BC^2$. Pour isoler $BC^2$, on effectue la soustraction $31,36 - 23,04 = 8,32$. Enfin, $BC = \sqrt{8,32} \approx 2,884$ km. La distance totale parcourue par le voilier 1 est donc $AB + BC = 4,8 + 2,884 = 7,684$ km. Arrondi au dixième, cela nous donne environ $7,7$ km.
Analyse de la trajectoire du Voilier 2 : L'usage de la trigonométrie
Le voilier 2 suit une trajectoire via le point D, formant le triangle ADC. La figure montre un angle droit en D et une information angulaire au point A : l'angle $\widehat{CAD}$ mesure 24°. L'hypoténuse reste [AC] avec une longueur de $5,6$ km. Pour trouver la distance totale $AD + DC$, nous devons utiliser les rapports trigonométriques.
D'abord, calculons AD (côté adjacent à l'angle de 24°) : $\cos(24^\circ) = \frac{AD}{AC}$, donc $AD = AC \times \cos(24^\circ) = 5,6 \times \cos(24^\circ) \approx 5,116$ km. Ensuite, calculons DC (côté opposé à l'angle de 24°) : $\sin(24^\circ) = \frac{DC}{AC}$, donc $DC = AC \times \sin(24^\circ) = 5,6 \times \sin(24^\circ) \approx 2,277$ km. La distance totale pour le voilier 2 est la somme $AD + DC \approx 5,116 + 2,277 = 7,393$ km. Arrondi au dixième, nous obtenons $7,4$ km.
Comparaison et synthèse pédagogique
La question finale demande de comparer les trajectoires. Le voilier 1 parcourt environ $7,7$ km tandis que le voilier 2 parcourt environ $7,4$ km. On en conclut que la trajectoire du voilier 2 est plus courte que celle du voilier 1. Ce résultat est contre-intuitif pour certains élèves qui pourraient penser que l'angle de zigzag ne change pas drastiquement la distance. C'est ici que la précision du calcul mathématique prend tout son sens.
Les pièges à éviter lors de l'épreuve
De nombreux élèves commettent des erreurs classiques dans ce type d'exercice. Premièrement, la confusion entre les rapports trigonométriques : il est impératif de se souvenir de l'astuce 'SOH CAH TOA'. Pour AD, on cherche le côté adjacent avec l'hypoténuse connue, donc Cosinus. Pour DC, on cherche le côté opposé, donc Sinus. Deuxièmement, le réglage de la calculatrice : vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode 'Degrés' (DEG) et non en 'Radians' ou 'Grades'. Troisièmement, l'arrondi prématuré : effectuez vos calculs avec le maximum de décimales et n'arrondissez qu'à l'étape finale pour éviter des erreurs de précision cumulées.
Conseils de rédaction pour maximiser vos points
Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la rédaction est aussi importante que le résultat. Commencez toujours par citer le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle. Nommez explicitement le théorème ou l'outil utilisé ('D'après le théorème de Pythagore...' ou 'Dans le triangle rectangle ADC, on utilise la trigonométrie...'). Présentez vos étapes de calcul de manière verticale et n'oubliez jamais l'unité (ici le kilomètre) dans votre phrase de conclusion. Une copie claire et bien structurée rassure le correcteur sur votre maîtrise du sujet.